ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116066
Темы:    [ Вспомогательные равные треугольники ]
[ Поворот помогает решить задачу ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Вспомогательная окружность ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

Два равносторонних треугольника ABC и CDE имеют общую вершину (см. рис). Найдите угол между прямыми AD и BE.


Решение

  Первый способ. Пусть – точка пересечения AD и BE (рис. слева). Заметим, что треугольники ACD и BCE по двум сторонам и углу между ними, откуда следует, что  ∠DAC = ∠EBC.  Значит,  ∠APB = 180° – (∠PAB + ∠PBA) = 180° – (∠CAB + ∠CBA) = 60°.

           

  Bторой способ. При повороте с центром C и углом 60° точка B переходит в A, E – в D, то есть образом прямой BE является прямая AD и угол между ними равен 60°.

  Третий способ. Пусть P – вторая точка пересечения описанных окружностей треугольников ABC и CDE (рис. справа). Тогда  ∠APC = ∠ABC = 60°  и
DPC = 180° – ∠DEC = 120°.  Значит, точки A, P и D лежат на одной прямой. Aналогично, на одной прямой лежат точки B, P и E.
  При этом  ∠APB = ∠ACB = 60°.


Ответ

60°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер 08 (2010 год)
Дата 2010-04-11
класс
Класс 8-9 класс
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .