ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108090
Темы:    [ Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
[ Ортогональная (прямоугольная) проекция ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Хорды AC и BD окружности с центром O пересекаются в точке K. Пусть M и N – центры окружностей, описанных около треугольников AKB и CKD соответственно. Докажите, что  OM = KN.


Решение

  Рассмотрим проекции     и     векторов     и     на хорду AC. N1 – середина хорды KC, поэтому     M1 и O1 – середины хорд AK и AC, поэтому     Таким образом,  
  Аналогично докажем, что проекции векторов     и     на хорду BD также равны. Но вектор полностью определяется своими проекциями на две непараллельные прямые. Поэтому  

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6210
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1999/2000
Номер 21
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 2
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 63
Год 2000
вариант
Класс 11
задача
Номер 3
журнал
Название "Квант"
год
Год 2000
выпуск
Номер 4
Задача
Номер М1737

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .