Условие
На бумаге "в клеточку" нарисован выпуклый многоугольник M, так что все его вершины находятся в вершинах клеток и ни одна из его сторон не идёт по вертикали или горизонтали. Докажите, что сумма длин вертикальных отрезков линий сетки, заключённых внутри M, равна сумме длин горизонтальных отрезков линий сетки внутри M.
Решение
Докажем, что каждая из рассматриваемых величин равна площади многоугольника M. Проверим это для суммы длин горизонтальных отрезков. Проведём эти отрезки. Тогда M разобьётся на два треугольника и несколько трапеций, причём высоты этих фигур будут равны 1. Осталось выразить площади этих фигур через основания и высоты по известной формуле и сложить. Видно, что каждый горизонтальный отрезок войдёт в сумму два раза, то есть с коэффициентом единица, что и требовалось.
Замечания
5 баллов
