Версия для печати
Убрать все задачи

---

На прямоугольном столе разложено несколько одинаковых квадратных листов бумаги так, что их стороны параллельны краям стола (листы могут перекрываться). Докажите, что можно воткнуть несколько булавок таким образом, что каждый лист будет прикреплен к столу ровно одной булавкой.

   Решение

---

Дана возрастающая последовательность положительных чисел  $...< a_{-2} < a_{-1} < a_{0} < a_{1} < a_{2} < ...,$  бесконечная в обе стороны. Пусть $b_k$ – наименьшее целое число со свойством: отношение суммы любых $k$ подряд идущих членов данной последовательности к наибольшему из этих $k$ членов не превышает $b_k$. Докажите, что последовательность $b_{1}, b_{2}, b_{3}$, ... либо совпадает с натуральным рядом 1, 2, 3, ..., либо с некоторого момента постоянна.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67078

Темы:   [ Производная (прочее) ] [ Тригонометрия (прочее) ] [ Инварианты ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

На доске написана функция  sin $x$ + cos $x$.  Разрешается написать на доске производную любой написанной ранее функции, а также сумму и произведение любых двух написанных ранее функций, так можно делать много раз. В какой-то момент на доске оказалась функция, равная для всех действительных $x$ некоторой константе $c$. Чему может равняться $c$?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61443

Темы:   [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Производная (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Экспонентой y = e^x называется такая функция, для которой выполнены условия y'(x) = y(x) и y(0) = 1. Какая последовательность {a_n} будет обладать аналогичными свойствами, если производную заменить на разностный оператор ?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64613

Темы:   [ Многочлены (прочее) ] [ Производная (прочее) ] [ Средние величины ] [ Теорема Виета ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Многочлен степени  $n > 1$  имеет $n$ разных корней $х_1$, $х_2$, ..., $х_n$. Его производная имеет корни $y_1$, $y_2$, ..., $y_{n-1}$. Докажите неравенство $$\frac{x_1^2 + \dots + x_n^2}{n} > \frac{y_1^2 + \dots + y_{n-1}^2}{n-1}.$$

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116624

Темы:   [ Многочлены (прочее) ] [ Производная (прочее) ] [ Выпуклость и вогнутость (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Существуют ли такие значения a и b, при которых уравнение   х⁴ – 4х³ + 6х² + aх + b = 0  имеет четыре различных действительных корня?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61135

Темы:   [ Алгебраические уравнения в C. Извлечение корня ] [ Производная (прочее) ] [ Геометрия комплексной плоскости ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Пусть  f(x) = (x – a)(x – b)(x – c)  – многочлен третьей степени с комплексными корнями a, b, c.
Докажите, что корни производной этого многочлена лежат внутри треугольника с вершинами в точках a, b, c.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями