Фильтр
Задачи
Задача 97810 |
|
|
Найти все такие натуральные k, которые можно представить в виде суммы двух взаимно простых чисел, отличных от 1.
Решение
Любое нечётное число k = 2n + 1 > 3 легко представить в нужном виде: k = n + (n + 1).
Чётное число, кратное 4, (k = 4n) представляется в виде суммы чисел 2n + 1 и 2n – 1. Последнее число больше 1 при k ≥ 8.
Наконец, число k вида 4n + 2 представляется в виде суммы (2n + 3) + (2n – 1). Эти числа взаимно просты, поскольку из разность равна 4, а 4 взаимно просто с любыми нечётными числами. Последнее число больше 1 при k ≥ 10.
Таким образом, мы представили в нужном виде все числа, кроме 1, 2, 3, 4 и 6. Нетрудно проверить, что ни одно этих чисел в требуемом виде представить нельзя.
Ответ
Все натуральные числа, кроме 1, 2, 3, 4 и 6.
|
|
Задача 98416 |
|
|
Пусть a, b, c – натуральные числа.
а) Докажите, что если НОК(a, a + 5) = HOK(b, b + 5), то a = b.
б) Могут ли НОК(a, b) и НОК(а + с, b + с) быть равны?
Решение
а) Первый способ. Так как НОД(a + 5, a) делит также и разность (a + 5) – a = 5, то он может равняться только 5 или 1. То же верно и для HOД(b, b + 5).
Заметим, что НОД(a, a + 5) = 5 тогда и только тогда, когда НОК(a, a + 5) делится на 5. Поэтому из равенства НОК(a, a + 5) = HOK(b, b + 5) следует равенство НОД(a, a + 5) = HOД(b, b + 5), а значит, и равенство a(a + 5) = b(b + 5) (как известно, НОК(m, n)·НОД(m, n) = mn. Теперь ясно, что a = b (если, например, a < b, то a + 5 < b + 5 и a(a + 5) < b(b + 5). Противоречие.)
Второй способ. См. б).
б) Предположим, что такие числа существуют. Можно считать, что HOД(a, b, c) = 1 (в противном случае все числа можно сократить на общий делитель).
Обозначим m = HOK(a + c, b + c), d = HOД(a + c, b + c). Так как HOK(a + c, b + c) = НОК(a, b) ≤ ab < (a + c)(b + c), то d > 1. ab делится на m, а m, в свою очередь, делится на d, то есть ab делится на d. Поэтому либо a, либо b (пусть a) имеет общий делитель δ > 1 с числом d. Но тогда числа
c = (a + c) – a и b = (b + c) – c также делятся на δ. Мы получили противоречие с условием HOД(a, b, c) = 1.
Ответ
б) Не могут.
|
|
|
Задача 98481 |
|
|
Натуральные числа m и n взаимно просты (не имеют общего делителя, отличного от единицы). Дробь можно сократить на число d.
Каково наибольшее возможное значение d?
Решение
См. задачу 105090.
Ответ
3999999.
|
|
|
Задача 104016 |
|
|
На юбилей 57-й школы Московский Монетный Двор выпустил юбилейные монеты достоинством в 57 копеек. А на юбилей 239-й школы монеты достоинством в 239 копеек выпустил Санкт-Петербургский Монетный Двор. Чтобы никому не было обидно, количество денег, выпущенных оба раза, было одинаково. Смогут ли Олег и 36 его друзей разделить все выпущенные монеты так, чтобы каждому досталось одинаковое количество монет?
Решение
Числа 57 и 239 взаимно просты, поэтому количество монет по 57 коп. равно 239n, а монет по 239 коп. – 57n, где n – какое-то натуральное число. Таким образом, всего выпущено (239 + 57)n = 296n монет, а 296 делится на 37.
Ответ
Смогут.
|
|
|
Задача 105090 |
|
|
Наибольший общий делитель натуральных чисел m и n равен 1. Каково наибольшее возможное значение НОД(m + 2000n, n + 2000m)?
Решение
Пусть a = 2000m + n, b = 2000n + m, d = НОД(a, b). Тогда d делит также числа 2000a – b = (2000² – 1)m и 2000b – a = (2000² – 1)n. Поскольку m и n взаимно просты, то d делит 2000² – 1.
С другой стороны, при m = 2000² – 2000 – 1, n = 1, получаем a = (2000² – 1)(2000 – 1), b = 2000² – 1 = d.
Ответ
3999999.
|
|
|
Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 277]
