ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 1203]      



Задача 32040

Темы:   [ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Классическая комбинаторика (прочее) ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Десятичная система счисления ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Автобусные билеты имеют номера от 000000 до 999999. Билет называется счастливым, если сумма первых трёх цифр его номера равна сумме последних трёх его цифр. Докажите, что:
  а) число всех счастливых билетов чётно;
  б) сумма номеров всех счастливых билетов делится на 999.

Прислать комментарий     Решение

Задача 32061

Темы:   [ Перебор случаев ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3
Классы: 5,6,7,8

За круглым столом сидело а) 15; б) 20 человек. Они хотят пересесть так, чтобы те, кто раньше сидел рядом, теперь сидели бы через два человека. Возможно ли это?

Прислать комментарий     Решение


Задача 34921

Тема:   [ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 3

а) На отрезке  [0, 1]  задано такое множество M, являющееся объединением нескольких отрезков, что расстояние между любыми двумя точками из M не равно 1/10. Докажите, что сумма длин отрезков, составляющих M, не больше ½.

б) Верно ли это же утверждение, если заменить 1/10 на ⅕?

Прислать комментарий     Решение

Задача 34922

Темы:   [ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Обыкновенные дроби ]
Сложность: 3

Пусть p – простое число, большее 2, а  m/n = 1 + ½ + ⅓ + ... + 1/p–1.  Докажите, что m делится на p.

Прислать комментарий     Решение

Задача 35139

Темы:   [ Подсчет двумя способами ]
[ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]
[ Разные задачи на разрезания ]
[ Выпуклые многоугольники ]
Сложность: 3
Классы: 9,10,11

Какое наибольшее количество непересекающихся диагоналей можно провести в выпуклом n-угольнике (допускаются диагонали, имеющие общую вершину)?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 1203]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .