ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 34922
Темы:    [ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Обыкновенные дроби ]
Сложность: 3
Классы:
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть p – простое число, большее 2, а  m/n = 1 + ½ + ⅓ + ... + 1/p–1.  Докажите, что m делится на p.


Подсказка

Сгруппируйте первое слагаемое с последним, второе – с предпоследним и т.д.


Решение

Достаточно доказать это утверждение для несократимой дроби m/n. В сумме  1 + ½ + ⅓ + ... + 1/p–1  сгруппируем первое слагаемое с последним, второе – с предпоследним и т.д. Получим p–1/2 сумм вида  1/k + 1/p–k = p/k(p–k). При приведении суммы таких дробей к общему знаменателю в числителе останется число, кратное p, а в знаменателе –  (p – 1)!.  Поскольку p просто, оно не сократится при приведении к несократимому виду.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .