Пусть Q — вторая точка Брокара треугольника ABC, O — центр его описанной окружности, A₁, B₁ и C₁ — центры описанных окружностей треугольников CAQ, ABQ и BCQ. Докажите, что  A₁B₁C₁ ABC и O — первая точка Брокара треугольника A₁B₁C₁.

   Решение

а) Докажите, что угол Брокара любого треугольника не превосходит  30^o.
б) Внутри треугольника ABC взята точка M. Докажите, что один из углов ABM, BCM и CAM не превосходит  30^o.

   Решение

а) Докажите, что внутри треугольника ABC существует такая точка P, что  ABP = CAP = BCP.
б) На сторонах треугольника ABC внешним образом построены подобные ему треугольники  CA₁B, CAB₁ и C₁AB (углы при первых вершинах всех четырех треугольников равны и т. д.). Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке, причем эта точка совпадает с точкой задачи а).

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 207]      

На плоскости дано n точек, причем любые четыре из них являются вершинами выпуклого четырехугольника. Докажите, что эти точки являются вершинами выпуклого n-угольника.

Прислать комментарий

Решение

На плоскости дано пять точек, причем никакие три из них не лежат на одной прямой. Докажите, что четыре из этих точек расположены в вершинах выпуклого четырехугольника.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что для любой невыпуклой фигуры существует выпуклая фигура с меньшим периметром и большей площадью.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что если существует фигура , площадь которой не меньше площади фигуры , а периметр — меньше, то существует фигура того же периметра, что и , но большей площади.

Прислать комментарий

Решение

Верно ли, что любой пятиугольник лежит по одну сторону от не менее чем двух своих сторон?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 207]