Каталог по темам

Выбрано 4 задачи

Пусть Q — вторая точка Брокара треугольника ABC, O — центр его описанной окружности, A₁, B₁ и C₁ — центры описанных окружностей треугольников CAQ, ABQ и BCQ. Докажите, что $\triangle$ A₁B₁C₁ $\sim$ $\triangle$ ABC и O — первая точка Брокара треугольника A₁B₁C₁.

Решение

а) Докажите, что угол Брокара любого треугольника не превосходит 30^o.
б) Внутри треугольника ABC взята точка M. Докажите, что один из углов ABM, BCM и CAM не превосходит 30^o.

Решение

а) Докажите, что внутри треугольника ABC существует такая точка P, что $\angle$ ABP = $\angle$ CAP = $\angle$ BCP.
б) На сторонах треугольника ABC внешним образом построены подобные ему треугольники CA₁B, CAB₁ и C₁AB (углы при первых вершинах всех четырех треугольников равны и т. д.). Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке, причем эта точка совпадает с точкой задачи а).

Решение

а) Через точку Брокара P треугольника ABC проведены прямые AP, BP и CP, пересекающие описанную окружность в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что $\triangle$ ABC = $\triangle$ B₁C₁A₁.
б) Треугольник ABC вписан в окружность S. Докажите, что треугольник, образованный точками пересечения прямых PA, PB и PC с окружностью S, может быть равен треугольнику ABC не более чем для восьми различных точек P. (Предполагается, что точки пересечения прямых PA, PB и PC с окружностью отличны от точек A, B и C.)

Решение

Задача 30863

Задача 30864

Задача 30865

Задача 98061

Задача 109146