Версия для печати
Убрать все задачи

---

На завтрак группа из 5 слонов и 7 бегемотов съела 11 круглых и 20 кубических арбузов, а группа из 8 слонов и 4 бегемотов – 20 круглых и 8 кубических арбузов. Все слоны съели поровну (одно и то же целое число) арбузов. И все бегемоты съели поровну арбузов. Но один вид животных ест и круглые, и кубические арбузы, а другой вид привередливый и ест арбузы только одной из форм. Определите, какой вид (слоны или бегемоты) привередлив и какие арбузы он предпочитает.

   Решение

---

Биссектриса угла B и биссектриса внешнего угла D прямоугольника ABCD пересекают сторону AD и прямую AB в точках M и K соответственно.
Докажите, что отрезок MK равен и перпендикулярен диагонали прямоугольника.

   Решение

---

У Аладдина есть несколько одинаковых слитков золота, и иногда он просит джинна увеличить их количество. Джинн добавляет тысячу таких же слитков, но после этого берёт за услугу ровно половину от получившейся общей массы золота. Мог ли Аладдин оказаться в выигрыше после десяти таких просьб, если ни один слиток не пришлось распиливать?

   Решение

---

Разрежьте фигуру, показанную на рисунке, на четыре одинаковые части.

   Решение

---

30 команд участвуют в розыгрыше первенства по футболу.
Доказать, что в любой момент состязаний имеются две команды, сыгравшие к этому моменту одинаковое число матчей.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 30]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 61052

Тема:   [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Пусть  x₁ < x₂ < ... < x_n  – действительные числа. Докажите, что для любых  y₁, y₂, ..., y_n  существует единственнный многочлен  f(x) степени не выше  n – 1,  такой, что  f(x₁) = y₁, ...,  f(x_n) = y_n.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61061

Тема:   [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Про многочлен   f(x) = x¹⁰ + a₉x⁹ + ... + a₀  известно, что   f(1) = f(–1),  ...,   f(5) = f(–5).  Докажите, что   f(x) = f(– x)  для любого действительного x.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64356

Темы:   [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ] [ Арифметическая прогрессия ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Петя и Вася придумали десять многочленов пятой степени. Затем Вася по очереди называл последовательные натуральные числа (начиная с некоторого), а Петя каждое названное число подставлял в один из многочленов по своему выбору и записывал полученные значения на доску слева направо. Оказалось, что числа, записанные на доске, образуют арифметическую прогрессию (именно в этом порядке). Какое максимальное количество чисел Вася мог назвать?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65751

Темы:   [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Дан кубический многочлен  f(x). Назовём циклом такую тройку различных чисел  (a, b, c),  что  f(a) = b,  f(b) = c  и  f(c) = a.  Известно, что нашлись восемь циклов  (a_i, b_i, c_i),  i = 1, 2, ..., 8,  в которых участвуют 24 различных числа. Докажите, что среди восьми чисел вида  a_i + b_i + c_i  есть хотя бы три различных.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111694

Темы:   [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ] [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ] [ Центральная симметрия (прочее) ] [ Монотонность и ограниченность ] [ Свойства коэффициентов многочлена ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Многочлен P(x) с действительными коэффициентами таков, что уравнение  P(m) + P(n) = 0  имеет бесконечно много решений в целых числах m и n.
Докажите, что у графика  y = P(x)  есть центр симметрии.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 30]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями