ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 54]      



Задача 98442

Темы:   [ Двоичная система счисления ]
[ Классическая комбинаторика (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Для каждого целого неотрицательного числа i определим число M(i) следующим образом: запишем число i в двоичной форме; если число единиц в этой записи чётно, то M(i) = 0, а если нечётно – то 1 (первые члены этой последовательности: 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, ... ).
  а) Рассмотрим конечную последовательность  M(0), M(1), ... , M(1000).  Докажите, что число членов этой последовательности, равных своему правому соседу, не меньше 320.
  б) Рассмотрим конечную последовательность  M(0), M(1), ..., M(1000000).  Докажите, что число таких членов последовательности, что  M(i) = M(i + 7),  не меньше 450000.

Прислать комментарий     Решение

Задача 105192

Темы:   [ Двоичная система счисления ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Объединение, пересечение и разность множеств ]
[ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]
[ Экстремальные свойства (прочее) ]
Сложность: 7
Классы: 10,11

Вдоль стены круглой башни по часовой стрелке ходят два стражника, причём первый из них — вдвое быстрее второго. В этой стене, имеющей длину 1, проделаны бойницы. Система бойниц называется надёжной, если в каждый момент времени хотя бы один из стражников находится возле бойницы.

а) Какую наименьшую длину может иметь бойница, если система, состоящая только из этой бойницы, надежна?

б) Докажите, что суммарная длина бойниц любой надёжной системы больше 1/2.

в) Докажите, что для любого числа s>1/2 существует надёжная система бойниц с суммарной длиной, меньшей s.
Прислать комментарий     Решение


Задача 102997

Темы:   [ Теория алгоритмов ]
[ Двоичная система счисления ]
Сложность: 3-
Классы: 5,6,7

Миша загадал число не меньше 1 и не больше 1000. Васе разрешено задавать только такие вопросы, на которые Миша может ответить «да» или «нет» (Миша всегда говорит правду). Может ли Вася за 10 вопросов определить загаданное число?
Прислать комментарий     Решение


Задача 35786

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ]
[ Двоичная система счисления ]
[ Криптография ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Для передачи сообщений по телеграфу каждая буква русского алфавита (Е и Ё отождествлены) представляется в виде пятизначной комбинации из нулей и единиц, соответствующих двоичной записи номера данной буквы в алфавите (нумерация букв начинается с нуля). Например, буква А представляется в виде 00000, буква Б - 00001, буква Ч – 10111, буква Я – 11111. Передача пятизначной комбинации производится по кабелю, содержащему пять проводов. Каждый двоичный разряд передается по отдельному проводу. При приеме сообщения Криптоша перепутал провода, поэтому вместо переданного слова получен набор букв ЭАВЩОЩИ. Найдите переданное слово.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60895

Темы:   [ Взвешивания ]
[ Двоичная система счисления ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Дан мешок сахарного песка, чашечные весы и гирька в 1 г. Можно ли за 10 взвешиваний отмерить 1 кг сахара?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 54]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .