Версия для печати
Убрать все задачи
На катетах и гипотенузе прямоугольного треугольника построены
квадраты, расположенные вне треугольника. Вычислить площадь
шестиугольника, вершины которого совпадают с теми вершинами
квадратов, которые не принадлежат данному треугольнику. Длина
гипотенузы
c и сумма длин катетов
s известны.
Решение
Каждая сторона правильного треугольника разбита на n равных отрезков, и
через все точки деления проведены прямые, параллельные сторонам. Данный
треугольник разбился на n² маленьких треугольников-клеток.
Треугольники, расположенные между двумя соседними параллельными прямыми,
образуют полоску.
а) Какое наибольшее число клеток можно отметить, чтобы никакие
две отмеченные клетки не принадлежали одной полоске ни по одному из трёх
направлений, если n = 10?
б) Тот же вопрос для n = 9.
Решение
Окружность касается стороны BC треугольника ABC в её середине M, проходит через точку A, а отрезки AB и AC пересекает в точках D и E соответственно. Найдите угол A, если известно, что BC = 12, AD = 3,5 и EC = 
.
Решение
Вписанная окружность треугольника
ABC касается
сторон
AC и
BC в точках
B1 и
A1. Докажите, что если
AC >
BC, то
AA1 >
BB1.
Решение
Докажите, что числа Фибоначчи
{
Fn} удовлетворяют
соотношению
| arcctg F2n - arcctg F2n + 2 = arcctg F2n + 1. |
(8.2) |
Получите отсюда равенство
arcctg 2 +
arcctg 5 +
arcctg 13 +...+
arcctg F2n + 1 +...=
.
Решение
Можно ли осветить круглую арену 100 прожекторами
так, чтобы каждый из них освещал выпуклую фигуру,
никакой из них не освещал всю арену, но
любые два из них вместе уже освещали всю арену?
Решение
Функции f(x) – x и f(x²) – x6 определены при всех положительных x и возрастают.
Докажите, что функция 
также возрастает при всех положительных x.
Решение
Окружность проходит через вершины A и B прямоугольника ABCD и касается стороны CD в её середине. Через вершину D проведена прямая, которая касается той же окружности в точке E, а затем пересекает продолжение стороны AB в точке K.
Найдите площадь трапеции BCDK, если AB = 10 и KE : KA = 3 : 2.
Решение
На столе
лежат в ряд пять монет: средняя — вверх орлом, а остальные — вверх
решкой. Разрешается одновременно
перевернуть три рядом лежащие монеты. Можно ли при помощи нескольких
таких переворачиваний все пять монет положить вверх орлом?
Решение
Фильтр
