Доказать, что если  ^p/_q – несократимая рациональная дробь, являющаяся корнем полинома  f(x) с целыми коэффициентами, то  p – kq  есть делитель числа  f(k) при любом целом k.

   Решение

Докажите, что из набора 0, 1, 2, ...,  3^k – 1  можно выбрать 2^k чисел так, чтобы никакое из них не являлось средним арифметическим двух других выбранных чисел.

   Решение

На плоскости даны две окружности $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$, касающиеся внешним образом. На окружности $\omega_{1}$ выбран диаметр $AB$, а на окружности $\omega_{2}$ выбран диаметр $CD$. Рассмотрим всевозможные положения точек $A$, $B$, $C$ и $D$, при которых $ABCD$ — выпуклый описанный четырёхугольник, и пусть $I$ — центр его вписанной окружности. Найдите геометрическое место точек $I$.

   Решение

Известно, что в некоторую пирамиду можно вписать шар. Докажите, что объём этой пирамиды равен трети произведения радиуса этого шара на полную поверхность пирамиды.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 35]      

Дан правильный шестиугольник ABCDEF со стороной a . Отрезок MN параллелен одной из сторон шестиугольника, равен его стороне и расположен на расстоянии h от его плоскости. Найдите объём многогранника ABCDEFMN .

Прислать комментарий

Решение

Пусть r0 – радиус вневписанной сферы тетраэдра, касающейся грани площади S0 , а S1 , S2 и S3 – площади остальных граней тетраэдра. Докажите, что объём тетраэдра можно вычислить по формуле V=(S1+S2+S3-S0)· r0 .

Прислать комментарий

Решение

Выпуклый многогранник ABCDFE имеет пять граней: CDF , ABE , BCFE , ADFE и ABCD . Ребро AB параллельно ребру CD . Точки K и L расположены соответственно на рёбрах AD и BC так, что отрезок KL делит площадь грани ABCD пополам. Точка M является серединой ребра EF и вершиной пирамиды MABCD , объём которой равен 6. Найдите объём пирамиды EKLF , если известно, что объём многогранника ABCDFE равен 19.

Прислать комментарий

Решение

Выпуклый многогранник KLMNFE имеет пять граней: KLE , MNF , KNFE , LMFE и KLMN . Точки A и B расположены соответственно на рёбрах KN и LM так, что отрезок AB делит площадь параллелограмма KLMN пополам. Точка D является серединой ребра EF и вершиной пирамиды DKLMN , объём которой равен 5. Найдите объём многогранника KLMNFE , если известно, что объём пирамиды EFAB равен 8.

Прислать комментарий

Решение

Известно, что в некоторую пирамиду можно вписать шар. Докажите, что объём этой пирамиды равен трети произведения радиуса этого шара на полную поверхность пирамиды.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 35]