Версия для печати
Убрать все задачи

---

а) Докажите, что при  4p³ + 27q² < 0  уравнение  x³ + px + q = 0  заменой  x = αy + β  сводится к уравнению ay³ – 3by² – 3ay + b = 0    (*)
от переменной y.

б) Докажите, что решениями уравнения (*) будут числа   y₁ = tg ,   y₂ = tg ,   y₃ = tg ,   где φ определяется из условий:
sin φ = ,   cos φ = .

   Решение

---

От пирога, имеющего форму выпуклого пятиугольника, можно отрезать треугольный кусок по линии, пересекающей в точках, отличных от вершин, две соседние стороны; от оставшейся части пирога — следующий кусок (таким же образом) и т.д. В какие точки пирога можно воткнуть свечку, чтобы её нельзя было отрезать?

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 73]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109504

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Полуинварианты ] [ Обратный ход ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Капитан Врунгель в своей каюте разложил перетасованную колоду из 52 карт по кругу, оставив одно место свободным. Матрос Фукс с палубы, не отходя от штурвала и не зная начальной раскладки, называет карту. Если эта карта лежит рядом со свободным местом, Врунгель её туда передвигает, не сообщая Фуксу. Иначе ничего не происходит. Потом Фукс называет ещё одну карту, и так сколько угодно раз, пока сам не скажет "стоп". Может ли Фукс добиться того, чтобы после "стопа" каждая карта наверняка оказалась не там, где была вначале?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79618

Темы:   [ Разные задачи на разрезания ] [ Полуинварианты ] [ Пятиугольники ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9,10

От пирога, имеющего форму выпуклого пятиугольника, можно отрезать треугольный кусок по линии, пересекающей в точках, отличных от вершин, две соседние стороны; от оставшейся части пирога — следующий кусок (таким же образом) и т.д. В какие точки пирога можно воткнуть свечку, чтобы её нельзя было отрезать?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65579

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Полуинварианты ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Клетки шахматной доски 8×8 занумерованы по диагоналям, идущим влево вниз, от 1 в левом верхнем до 64 в правом нижнем углу: (см. рис.). Петя расставил на доске 8 фишек так, что на каждой горизонтали и на каждой вертикали оказалось по одной фишке. Затем он переставил фишки так, что каждая фишка попала на клетку с бóльшим номером. Могло ли по-прежнему в каждой строке и в каждом столбце оказаться по одной фишке?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65744

Темы:   [ Замощения костями домино и плитками ] [ Полуинварианты ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Из клетчатого бумажного квадрата 100×100 вырезали по границам клеток 1950 доминошек (двуклеточных прямоугольников). Докажите, что из оставшейся части можно вырезать по границам клеток четырёхклеточную фигурку вида Т – возможно, повёрнутую. (Если такая фигурка уже есть среди оставшихся частей, считается, что её получилось вырезать.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66863

Темы:   [ Индукция (прочее) ] [ Полуинварианты ] [ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

На доске написаны 2$n$ последовательных целых чисел. За ход можно разбить написанные числа на пары произвольным образом и каждую пару чисел заменить на их сумму и разность (не обязательно вычитать из большего числа меньшее, все замены происходят одновременно). Докажите, что на доске больше никогда не появятся 2$n$ последовательных чисел.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 73]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями