ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 66863
УсловиеНа доске написаны 2$n$ последовательных целых чисел. За ход можно разбить написанные числа на пары произвольным образом и каждую пару чисел заменить на их сумму и разность (не обязательно вычитать из большего числа меньшее, все замены происходят одновременно). Докажите, что на доске больше никогда не появятся 2$n$ последовательных чисел. Решение По известной формуле $1^2 + 2^2 + ... + (2n)^2$ = ⅓ $n(n + 1)(4n + 1)$. Пусть $m = \frac{n}{НОД(n,3)}$. Тогда $1^2 + 2^2 + ... + (2n)^2$ делится на $m$, но не на 2$m$. Это верно не только для суммы квадратов чисел от 1 до 2$n$, но и для суммы квадратов любых 2$n$ последовательных чисел: если из набора 2$n$ последовательных квадратов удалить квадрат в начале и добавить квадрат в конце, то остаток от деления их суммы на 2$m$ не изменится. Замечания10 баллов Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |