ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 73]      



Задача 73732

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Полуинварианты ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

В прямоугольную таблицу из m строк и n столбцов записаны mn положительных чисел. Найдём в каждом столбце произведение чисел и сложим все n таких произведений. Докажите, что если переставить числа в каждой строке в порядке возрастания, то сумма аналогичных произведений будет не меньше, чем в первоначальной. Решите эту задачу для
  а)  m = n = 2;
  б)  m = 2  и произвольного n;
  в) любых натуральных m и n.

Прислать комментарий     Решение

Задача 73797

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ]
[ Полуинварианты ]
[ Подсчет двумя способами ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Какое наибольшее количество  а) ладей;  б) ферзей можно расставить на шахматной доске 8×8 так, чтобы каждая из этих фигур была под ударом не более чем одной из остальных?

Прислать комментарий     Решение

Задача 97983

Темы:   [ Разложение в произведение транспозиций и циклов ]
[ Полуинварианты ]
[ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Фольклор

Числа  1, 2, 3, ..., n  записываются в некотором порядке:  a1, a2, a3, ..., an.  Берётся сумма  S = a1/1 + a2/2 + ... + an/n.  Найдите такое n, чтобы среди таких сумм (при всевозможных перестановках  a1, a2, a3, ..., an)  встретились все целые числа от n до  n + 100.

 
Прислать комментарий     Решение

Задача 98139

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Полуинварианты ]
[ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Классические неравенства (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Иванов С.

Дана таблица n×n, заполненная числами по следующему правилу: в клетке, стоящей в i-й строке и j-м столбце таблицы записано число     В таблице зачеркнули n чисел таким образом, что никакие два зачёркнутых числа не находятся в одном столбце или в одной строке. Докажите, что сумма зачёркнутых чисел не меньше 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111883

Темы:   [ Процессы и операции ]
[ Полуинварианты ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Обыкновенные дроби ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Храбров А.

На доске написано натуральное число. Если на доске написано число x, то можно дописать на нее число  2x + 1  или x/x+2. В какой-то момент выяснилось, что на доске присутствует число 2008. Докажите, что оно там было с самого начала.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 73]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .