Версия для печати
Убрать все задачи

---

Доказать, что число всех цифр в последовательности 1, 2, 3,..., 10^k равно числу всех нулей в последовательности 1, 2, 3,..., 10^{k + 1}.

   Решение

---

На окружности длины 2013 отмечены 2013 точек, делящих её на равные дуги. В каждой отмеченной точке стоит фишка. Назовём расстоянием между двумя точками длину меньшей дуги между ними. При каком наибольшем n можно переставить фишки так, чтобы снова в каждой отмеченной точке было по фишке, а расстояние между любыми двумя фишками, изначально удалёнными не более чем на n, увеличилось?

   Решение

---

Доказать, что не существует таких натуральных чисел x, y, z, k, что  x^k + y^k = z^k  при условии  x < k,  y < k.

   Решение

Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 107]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60579

Темы:   [ Числа Фибоначчи ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Докажите следующий вариант формулы Бине:  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78182

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Доказать, что не существует таких натуральных чисел x, y, z, k, что  x^k + y^k = z^k  при условии  x < k,  y < k.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60581  [Числа Фибоначчи и треугольник Паскаля]

Темы:   [ Числа Фибоначчи ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Докажите равенство:  
(Сумма, стоящая в левой части, может быть интерпретирована, как сумма элементов треугольника Паскаля, стоящих в одной диагонали.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61127

Темы:   [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Комплексные числа помогают решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

а) Докажите равенство  

б) Вычислите сумму  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61129

Темы:   [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Комплексные числа помогают решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Докажите равенство:  

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 107]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями