Версия для печати
Убрать все задачи

---

В произведении пяти натуральных чисел каждый сомножитель уменьшили на 3. Могло ли произведение при этом увеличиться ровно в 15 раз?

   Решение

---

Сколькими способами можно заполнить одну карточку в лотерее "Спортпрогноз"? (В этой лотерее нужно предсказать итог тринадцати спортивных матчей. Итог каждого матча – победа одной из команд либо ничья; счёт роли не играет).

   Решение

---

а) Дан осесимметричный выпуклый 101-угольник. Докажите, что ось симметрии проходит через одну из его вершин.
б) Что можно сказать в случае десятиугольника?

   Решение

---

Сколько двоек будет в разложении на простые множители числа 1984! ?

   Решение

---

Даны квадратные трёхчлены  f₁(x),  f₂(x), ...,  f₁₀₀(x) с одинаковыми коэффициентами при x², одинаковыми коэффициентами при x, но различными свободными членами; у каждого из них есть по два корня. У каждого трёхчлена f_i(x) выбрали один корень и обозначили его через x_i. Какие значения может принимать сумма  f₂(x₁) + f₃(x₂) + ... + f₁₀₀(x₉₉) + f₁(x₁₀₀)?

   Решение

---

Все коэффициенты квадратного трёхчлена – нечётные целые числа. Докажите, что у него нет корней вида ¹/_n, где n – натуральное число.

   Решение

---

Правильный n-угольник вписан в единичную окружность. Докажите, что
а) сумма квадратов длин всех сторон и всех диагоналей равна n²;
б) сумма длин всех сторон и всех диагоналей равна  n ctg ^π/_2n;
в) произведение длин всех сторон и всех диагоналей равно  n^n/2.

   Решение

---

Сколькими способами можно разбить 14 человек на пары?

   Решение

---

Пусть m и n – целые числа. Докажите, что  mn(m + n)  – чётное число.

   Решение

---

Световое табло состоит из нескольких ламп, каждая из которых может находиться в двух состояниях (гореть или не гореть). На пульте несколько кнопок, при нажатии каждой из которых одновременно меняется состояние некоторого набора ламп (для каждой кнопки – своего). Вначале лампы не горят.
  а) Докажите, что число различных узоров, которые можно получить на табло, – степень двойки.
  б) Сколько различных узоров можно получить на табло, состоящем из mn лампочек, расположенных в форме прямоугольника размером m×n, если кнопками можно переключить как любой горизонтальный, так и любой вертикальный ряд ламп?

   Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 157]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65185

Темы:   [ Правило произведения ] [ Сочетания и размещения ] [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Прямоугольный параллелепипед размером m×n×k разбит на единичные кубики. Сколько всего образовалось параллелепипедов (включая исходный)?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66350

Темы:   [ Правило произведения ] [ Комбинаторика орбит ] [ Перестановки и подстановки (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

В зале стоят шесть стульев в два ряда – по три стула в каждом, один ряд ровно за другим. В зал пришли шесть человек различного роста.
Сколькими способами можно рассадить их так, чтобы каждый человек, сидящий в первом ряду, был ниже человека, сидящего за ним?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108413

Темы:   [ Правило произведения ] [ Сочетания и размещения ] [ Комбинаторика орбит ] [ Остовы многогранных фигур ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Фабрика игрушек выпускает проволочные кубики, в вершинах которых расположены маленькие разноцветные шарики. По ГОСТу в каждом кубике должны быть использованы шарики всех восьми цветов (белого и семи цветов радуги). Сколько разных моделей кубиков может выпускать фабрика?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66861

Темы:   [ Правило произведения ] [ Сочетания и размещения ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

К Ивану на день рождения пришли 2$N$ гостей. У Ивана есть $N$ чёрных и $N$ белых цилиндров. Он хочет устроить бал: надеть на гостей цилиндры и выстроить их в хороводы (один или несколько) так, чтобы в каждом хороводе было хотя бы два человека и люди в цилиндрах одного цвета не стояли в хороводе рядом. Докажите, что Иван может устроить бал ровно $(2N)!$ различными способами. (Цилиндры одного цвета неразличимы; все гости различимы.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 74200

Темы:   [ Правило произведения ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Комбинаторика орбит ] [ Теорема Лагранжа ] [ Числовые таблицы и их свойства ]

Сложность: 4

Световое табло состоит из нескольких ламп, каждая из которых может находиться в двух состояниях (гореть или не гореть). На пульте несколько кнопок, при нажатии каждой из которых одновременно меняется состояние некоторого набора ламп (для каждой кнопки – своего). Вначале лампы не горят.
  а) Докажите, что число различных узоров, которые можно получить на табло, – степень двойки.
  б) Сколько различных узоров можно получить на табло, состоящем из mn лампочек, расположенных в форме прямоугольника размером m×n, если кнопками можно переключить как любой горизонтальный, так и любой вертикальный ряд ламп?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 157]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями