Версия для печати
Убрать все задачи

---

В треугольнике KLM точка B — центр вписанной окружности, а точка C — центр окружности, описанной около треугольника KLM. Прямая BC перпендикулярна биссектрисе MB треугольника KLM. Известно, что угол BMC равен . Найдите углы треугольника KLM.

   Решение

---

Доказать, что среди 18 последовательных трёхзначных чисел найдётся хотя бы одно, которое делится на сумму своих цифр.

   Решение

---

Расстояние между центрами непересекающихся окружностей равно a . Докажите, что точки пересечения общих внешних касательных с общими внутренними касательными лежат на одной окружности и найдите её радиус.

   Решение

---

В Заитильщине 57 деревень, между некоторыми из которых проложены дороги. Известно, что из каждой деревни можно попасть в любую другую, притом по единственному маршруту.
  а) Докажите, что найдётся деревня, из которой выходит лишь одна дорога.
  б) Сколько дорог в Заитильщине?

   Решение

---

Сто человек ответили на вопрос: "Будет ли новый президент лучше прежнего?" Из них a человек считают, что будет лучше, b – что будет такой же, и c – что будет хуже. Социологи построили два показателя "оптимизма" опрошенных:  m = a + ^b/₂  и  n = a – c.  Оказалось, что  m = 40.  Найдите n.

   Решение

---

В школе провели турнир по настольному теннису. Турнир состоял из нескольких туров. В каждом туре каждый участник играл ровно в одном матче, а каждый матч судил один из не участвовавших в нем игроков.

После нескольких туров оказалось, что каждый участник сыграл по одному разу с каждым из остальных. Может ли оказаться, что все участники турнира судили одинаковое количество встреч?

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 58]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 30755

Темы:   [ Таблицы и турниры (прочее) ] [ Инварианты ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3 Классы: 7,8

В таблице 8×8 одна из клеток закрашена чёрным цветом, все остальные – белым. Докажите, что с помощью перекрашивания строк и столбцов нельзя добиться того, чтобы все клетки стали белыми. Под перекрашиванием строки или столбца понимается изменение цвета всех клеток в строке или столбце.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64667

Темы:   [ Таблицы и турниры (прочее) ] [ Раскраски ] [ Процессы и операции ] [ Инварианты ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Дана таблица размером 8×8, изображающая шахматную доску. За каждый шаг разрешается поменять местами любые два столбца или любые две строки. Можно ли за несколько шагов сделать так, чтобы верхняя половина таблицы стала белой, а нижняя половина – чёрной?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66630

Темы:   [ Таблицы и турниры (прочее) ] [ Комбинаторика (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

В школе провели турнир по настольному теннису. Турнир состоял из нескольких туров. В каждом туре каждый участник играл ровно в одном матче, а каждый матч судил один из не участвовавших в нем игроков.

После нескольких туров оказалось, что каждый участник сыграл по одному разу с каждым из остальных. Может ли оказаться, что все участники турнира судили одинаковое количество встреч?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66866

Тема:   [ Таблицы и турниры (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Группа из восьми теннисистов раз в год разыгрывала кубок по олимпийской системе (игроки по жребию делятся на 4 пары; выигравшие делятся по жребию на две пары, играющие в полуфинале; их победители играют финальную партию). Через несколько лет оказалось, что каждый с каждым сыграл ровно один раз. Докажите, что
а) каждый побывал в полуфинале более одного раза;
б) каждый побывал в финале.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79543

Темы:   [ Таблицы и турниры (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3 Классы: 8

Квадрат расчерчен на 16 равных клеток. Каждую из букв A, B, C, D расставьте в этих клетках по четыре раза таким образом, чтобы на каждой горизонтали, каждой вертикали и двух больших диагоналях не было одинаковых букв.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 58]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями