Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 113]

Задача 61302

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
Темы:	[	Предел последовательности, сходимость	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Старый калькулятор I. а) Предположим, что мы хотим найти $\sqrt[3]{x}$ (x > 0) на калькуляторе, который кроме четырех обычных арифметических действий умеет находить $\sqrt{x}$ . Рассмотрим следующий алгоритм. Строится последовательность чисел {y_n}, в которой y₀ — произвольное положительное число, например, y₀ = $\sqrt{\sqrt{x}}$ , а остальные элементы определяются соотношением

y_{n + 1} = $\displaystyle \sqrt{\sqrt{x\,y_n}}$ (n $\displaystyle \geqslant$ 0).

Докажите, что

$\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}^{}$ y_n = $\displaystyle \sqrt[3]{x}$ .

б) Постройте аналогичный алгоритм для вычисления корня пятой степени.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61469

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Специальные многочлены (прочее)	]
	[	Цепные (непрерывные) дроби	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Разложите функции и (n ≥ 1) в цепные дроби.
Определения многочленов Фибоначчи F_n(x) и Люка L_n(x) смотри, например, здесь.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61470

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
Темы:	[	Специальные многочлены (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Получите формулу для многочленов Фибоначчи и Люка, аналогичную формуле Бине (см. задачи 60578 и 60587).
Определения многочленов Фибоначчи и Люка смотри здесь.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61471

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Многочлены Чебышева	]
	[	Специальные многочлены (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Докажите, что многочлены Фибоначчи и Люка связаны с многочленами Чебышёва равенствами
U_n(^x/₂) = i^–nF_n+1(ix); 2T_n(^x/₂) = i^–nL_n(ix).
Про многочлены Фибоначчи, Люка и Чебышёва смотри в справочнике.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64516

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Гальперин Г.А.

Для каждого натурального числа n обозначим через O(n) его наибольший нечётный делитель. Даны произвольные натуральные числа
х₁ = а и х₂ = b. Построим бесконечную последовательность натуральных чисел по правилу: x_n = O(х_n–1 + х_n–2), где n = 3, 4, ... .
а) Докажите, что, начиная с некоторого места, все числа в последовательности будут равны одному и тому же числу.
б) Как найти это число, зная числа a и b?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 113]