Фильтр
Выбрано 5 задач Убрать все задачи
Дано уравнение xn – a1xn–1 – a2xn–2 – ... – an–1x – an = 0, где a1 ≥ 0, a2 ≥ 0, an ≥ 0.
Доказать, что это уравнение не может иметь двух положительных корней.
РешениеПостройте окружность, которая проходила бы через две данные точки и центр которой находился бы на данной прямой.
РешениеПерпендикуляры, опущенные из внутренней точки равностороннего треугольника на его стороны, и отрезки, соединяющие эту точку с вершинами, разбивают треугольник на шесть прямоугольных треугольников. Докажите, что сумма площадей трёх из них, взятых через один, равна сумме площадей трёх остальных.
РешениеВ небольшом шотландском городке стояла школа, в которой учились ровно 1000 школьников. У каждого из них был шкаф для одежды – всего 1000 шкафов, причём шкафы были пронумерованы числами о 1 до 1000. А ещё в этой школе жили привидения – ровно 1000 привидений. Каждый школьник, уходя из школы, запирал свой шкаф, а ночью привидения начинали играть со шкафами, то отпирая, то запирая их. Однажды вечером школьники, как обычно, оставили запертыми все шкафы. Ровно в полночь появились привидения. Сначала первое привидение открыло все шкафы; потом второе привидение закрыло те шкафы, номер которых делился на 2; затем третье привидение поменяло позиции (то есть открыло шкаф, если он был закрыт, и закрыло – если он был открыт) тех шкафов, номер которых делился на 3; следом за ним четвёртое привидение поменяло позиции тех шкафов, номер которых делился на 4 и т.д. Как только тысячное привидение поменяло позицию тысячного шкафа, пропел петух, и все привидения срочно убрались восвояси. Не скажете ли вы, сколько осталось открытых шкафов после посещения привидений?
РешениеДокажите неравенства:
а) x4 + y4 + z4 ≥ x²yz + xy²z + xyz²;
б) x³ + y³ + z³ ≥ 3xyz;
в) x4 + y4 + z4 + t4 ≥ 4xyzt;
г) x5 + y5 ≥ x³y² + x²y³.
Значения переменных считаются положительными.
Решение
Задачи
Задача 61423 |
|
|
Пусть Tα(x, y, z) ≥ Tβ(x, y, z) для всех неотрицательных x, y, z. Докажите, что
Определение многочленов Tα смотри в задаче 61417, про показатели смотри в справочнике.
|
|
Решение |
Задача 76435 |
|
|
Решить систему уравнений:
x + y = a,
x5 + y5 = b5.
|
|
|
Решение |
Задача 60925 |
|
|
Для многочленов f(x) = x² + ax + b и g(y) = y² + py + q с корнями x1, x2 и y1, y2 соответственно, выразите через a, b, p, q их результант
|
|
|
Решение |
Задача 61040 |
|
|
Решите системы:
а)
б) x(y + z) = 2, y(z + x) = 2, z(x + y) = 3;
в) x2 + y2 + x + y = 32, 12(x + y) = 7xy;
г)
д) x + y + z = 1, xy + xz + yz = –4, x3 + y3 + z3 = 1;
е) x2 + y2 = 12, x + y + xy = 9.
|
|
|
Решение |
Задача 61416 |
|
|
Докажите неравенства:
а) x4 + y4 + z4 ≥ x²yz + xy²z + xyz²;
б) x³ + y³ + z³ ≥ 3xyz;
в) x4 + y4 + z4 + t4 ≥ 4xyzt;
г) x5 + y5 ≥ x³y² + x²y³.
Значения переменных считаются положительными.
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 28]
