Задача 60925

Темы:    [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ] [ Симметрические многочлены ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Условие

Для многочленов  f(x) = x² + ax + b  и  g(y) = y² + py + q  с корнями x₁, x₂ и y₁, y₂ соответственно, выразите через a, b, p, q их результант

R(f, g) = (x₁ – y₁)(x₁ – y₂)(x₂ – y₁)(x₂ – y₂).

Решение

(x₁ – y₁)(x₁ – y₂)(x₂ – y₁)(x₂ – y₂) = g(x₁)g(x₂) = (– ax₁ – b + px₁ + q)(– ax₂ – b + px₂ + q) = (p – a)²x₁x₂ + (p – a)(q – b)(x₁ + x₂) + (q – b)² =
= (p – a)²b – (p – a)(q – b)a + (q – b)² = (p – a)(pb – ab – qa + ab) + (q – b)² = (p – a)(pb – aq) + (q – b)².

Ответ

(p – a)(pb – aq) + (q – b)².

Замечания

Вычисление результанта позволяет проверить многочлены f(x) и g(y) на наличие у них общих корней.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	6
Название	Многочлены
Тема	Многочлены
параграф
Номер	1
Название	Квадратный трехчлен
Тема	Неизвестная тема
задача
Номер	06.002