В равнобедренном треугольнике ABC  ∠ABC = 20°.  На равных сторонах CB и AB взяты соответственно точки P и Q так, что  ∠PAC = 50°  и  ∠QCA = 60°.
Докажите, что  ∠PQC = 30°.

   Решение

Две окружности радиуса R касаются в точке K. На одной из них взята точка A, на другой — точка B, причем AKB = 90^o. Докажите, что AB = 2R.

   Решение

По неподвижной окружности, касаясь ее изнутри, катится без скольжения окружность вдвое меньшего радиуса. Какую траекторию описывает фиксированная точка K подвижной окружности?

   Решение

Докажите, что при параллельном переносе окружность переходит в окружность.

   Решение

Разбирается дело Брауна, Джонса и Смита. Один из них совершил преступление. В ходе следствия каждый из них сделал по два заявления. Браун: «Я не делал этого. Джонс не делал этого». Смит: «Я не делал этого. Это сделал Браун.» Джонс: «Браун не делал этого. Это сделал Смит.» Потом оказалось, что один из них дважды сказал правду, другой — дважды солгал, третий — раз сказал правду, раз солгал. Кто совершил преступление?

   Решение

Окружность S и точка O лежат в одной плоскости, причём O находится вне окружности. Построим произвольный шар, проходящий через окружность S, и опишем конус с вершиной в точке O и касающийся шара. Найти геометрическое место центров окружностей, по которым конусы касаются шаров.

   Решение

Докажите, что дроби ¹⁰⁰⁰/₂₀₀₁ и ¹⁰⁰¹/₂₀₀₁ имеют равную длину периодов.

   Решение

Бронзовые монеты в 1, 2, 3 и 5 коп. весят соответственно 1, 2, 3 и 5 г. Среди четырех бронзовых монет (по одной из каждого номинала) одна фальшивая — отличается от настоящих по весу. Как с помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь определить фальшивую монету?

   Решение

Если в каждой вершине выпуклого многогранника сходятся не менее чем четыре ребра, то хотя бы одна из его граней – треугольник.
Докажите это.

   Решение

Докажите, что два четырехугольника подобны тогда и только тогда, когда у них равны четыре соответственных угла и соответственные углы между диагоналями.

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

На плоскости даны два отрезка A₁B₁ и A₂B₂, причём  ^A₂B₂/_A1B1 = k < 1.  На отрезке A₁A₂ взята точка A₃, а на продолжении этого отрезка за точку А₂ – точка А₄ так, что  ^A₃А₂/_А3А1 = ^А₄А₂/_А4А1 = k.  Аналогично на отрезке В₁В₂ берётся точка В₃, а на продолжении этого отрезка за точку В₂ – точка В₄ так, что
^В₃В₂/_В3В1 = ^В₄В₂/_В4В1 = k.  Найти угол между прямыми А₃В₃ и А₄В₄.

Прислать комментарий

Решение

К двум окружностям w₁ и w₂, пересекающимся в точках A и B, проведена их общая касательная CD (C и D – точки касания соответственно, точка B ближе к прямой CD, чем A). Прямая, проходящая через A, вторично пересекает w₁ и w₂ в точках и L соответственно (A лежит между K и L ). Прямые KC и LD пересекаются в точке P. Докажите, что PB – симедиана треугольника KPL (прямая, симметричная медиане относительно биссектрисы).

Прислать комментарий

Решение

Треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны и по-разному ориентированы. На отрезке AA₁ взята такая точка A', что  AA' : A₁A' = BC : B₁C₁.  Аналогично строим B' и C'. Докажите, что A', B' и C' лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что два четырехугольника подобны тогда и только тогда, когда у них равны четыре соответственных угла и соответственные углы между диагоналями.

Прислать комментарий

Решение

Четырехугольник ABCD выпуклый; точки  A₁, B₁, C₁ и D₁ таковы, что  AB||C₁D₁, AC||B₁D₁ и т. д. для всех пар вершин. Докажите, что четырехугольник  A₁B₁C₁D₁ тоже выпуклый, причем  A + C₁ = 180^o.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]