Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что  S_ABCD (AB ^. BC + AD ^. DC)/2.

   Решение

---

Постройте треугольник ABC, зная три точки A', B', C', симметричные точке пересечения высот треугольника относительно сторон BC, CA, AB (оба треугольника остроугольные).

   Решение

---

Постройте треугольник ABC, зная три точки A', B', C', симметричные центру O описанной окружности этого треугольника относительно сторон BC, CA, AB.

   Решение

---

Докажите, что  S_ABC AB ^. BC/2.

   Решение

---

Квадратную салфетку сложили пополам, полученный прямоугольник сложили пополам ещё раз (см. рисунок). Получившийся квадратик разрезали ножницами (по прямой). Могла ли салфетка распасться а) на 2 части? б) на 3 части? в) на 4 части? г) на 5 частей? Если да — нарисуйте такой разрез, если нет — напишите слово '' нельзя''.

   Решение

---

а) Постройте треугольник ABC, зная три точки A', B', C', в которых биссектрисы его углов пересекают описанную окружность (оба треугольника остроугольные).
б) Постройте треугольник ABC, зная три точки A', B', C', в которых высоты треугольника пересекают описанную окружность (оба треугольника остроугольные).

   Решение

---

В треугольнике ABC провели биссектрисы BB' и CC', а затем стёрли весь рисунок, кроме точек A, B' и C'.
Восстановите треугольник ABC при помощи циркуля и линейки.

   Решение

---

Докажите, что  ABC > 90^o тогда и только тогда, когда точка B лежит внутри окружности с диаметром AC.

   Решение

Тема:    [ Периодические и непериодические дроби ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что дроби ¹⁰⁰⁰/₂₀₀₁ и ¹⁰⁰¹/₂₀₀₁ имеют равную длину периодов.

Подсказка

1 = 0,999999...

Решение

  Заметим, что сумма двух данных дробей равна 1. Пусть первая дробь имеет десятичную запись 0,a₁a₂a₃... Рассмотрим число R, выраженное десятичной дробью, меньшей 1, у которой на i-м месте после запятой, стоит цифра  9 – a_i.  Тогда в сумме  ¹⁰⁰⁰/₂₀₀₁ + R  в каждом разряде после запятой будет стоять 9, то есть  ¹⁰⁰⁰/₂₀₀₁ + R = 0,9999... = 1.  Таким образом,  R = ¹⁰⁰¹/₂₀₀₁.  Теперь видно, что если ab...z – некоторая комбинация цифр, являющаяся периодом дроби ¹⁰⁰⁰/₂₀₀₁, то комбинация цифр  (9 – a)(9 – b)...(9 – z)  есть период дроби ¹⁰⁰¹/₂₀₀₁. Следовательно, период дроби ¹⁰⁰¹/₂₀₀₁ не длиннее периода ¹⁰⁰⁰/₂₀₀₁.
  Аналогично показываем, что период дроби ¹⁰⁰⁰/₂₀₀₁ не длиннее период дроби ¹⁰⁰¹/₂₀₀₁. Следовательно, периоды этих двух дробей равны.

Источники и прецеденты использования