ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78254
Темы:    [ ГМТ в пространстве (прочее) ]
[ Инверсия помогает решить задачу ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Конус (прочее) ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Окружность S и точка O лежат в одной плоскости, причём O находится вне окружности. Построим произвольный шар, проходящий через окружность S, и опишем конус с вершиной в точке O и касающийся шара. Найти геометрическое место центров окружностей, по которым конусы касаются шаров.

Решение

Рассмотрим плоскость P, проходящую через точку O и центр окружности S перпендикулярно данной плоскости. Из соображений симметрии ясно, что искомое ГМТ лежит в построенной плоскости P. Пусть A - точка, инверсная точке O относительно окружности S. Пусть X - произвольная точка нашего ГМТ. Легко проверить, что угол AXO - прямой. Поэтому искомое ГМТ - окружность, построенная на отрезке OA как на диаметре, лежащая в плоскости P, за исключением точки O.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 24
Год 1961
вариант
1
Класс 10
Тур 1
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .