ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57035
Темы:    [ Подобные фигуры ]
[ Четырехугольники (прочее) ]
[ Преобразования подобия (прочее) ]
[ Против большей стороны лежит больший угол ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что два четырехугольника подобны тогда и только тогда, когда у них равны четыре соответственных угла и соответственные углы между диагоналями.

Решение

Преобразованием подобия можно совместить одну пару соответственных сторон четырехугольников, поэтому достаточно рассмотреть четырехугольники ABCD и ABC1D1, у которых точки C1 и D1 лежат на лучах BC, AD и  CD| C1D1. Обозначим точки пересечения диагоналей четырехугольников ABCD и ABC1D1 через O и O1 соответственно.
Предположим, что точки C и D лежат ближе к точкам B и A, чем точки C1 и D1. Докажем, что тогда  $ \angle$AOB > $ \angle$AO1B. В самом деле,  $ \angle$C1AB > $ \angle$CAB и  $ \angle$D1BA > $ \angle$DBA, поэтому  $ \angle$AO1B = 180o - $ \angle$C1AB - $ \angle$D1BA < 180o - $ \angle$CAB - $ \angle$DBA = $ \angle$AOB. Получено противоречие, поэтому  C1 = C, D1 = D.


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 6
Название Многоугольники
Тема Многоугольники
параграф
Номер 2
Название Четырехугольники
Тема Четырехугольники (прочее)
задача
Номер 06.024

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .