Каталог по темам

Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 78]

Задача 103934

Темы:	[	Окружность, вписанная в угол	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Вневписанные окружности	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Заславский А.А.

Две окружности радиуса 1 пересекаются в точках X, Y, расстояние между которыми также равно 1. Из точки C одной окружности проведены касательные CA, CB к другой. Прямая CB вторично пересекает первую окружность в точке A'. Найти расстояние AA'.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109037

Темы:	[	Окружность, вписанная в угол	]
Темы:	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

MA и MB – касательные к окружности O,; C – точка внутри окружности, лежащая на дуге AB с центром в точке M . Доказать, что отличные от A и B точки пересечения прямых AC и BC с окружностью O лежат на противоположных концах одного диаметра.

Прислать комментарий Решение

Задача 111717

Темы:	[	Окружность, вписанная в угол	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	ГМТ - прямая или отрезок	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Имеется треугольник ABC. На луче BA отложим точку A₁, так что отрезок BA₁ равен BC. На луче CA отложим точку A₂, так что отрезок C₂ равен BC. Аналогично построим точки B₁, B₂ и C₁, C₂. Докажите, что прямые A₁A₂, B₁B ₂, C₁C₂ параллельны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 56896

Темы:	[	Окружность, вписанная в угол	]
	[	Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]
	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10

Окружность S₁ вписана в угол A треугольника ABC; окружность S₂ вписана в угол B и касается S₁ (внешним образом); окружность S₃ вписана в угол C и касается S₂; окружность S₄ вписана в угол A и касается S₃ и т. д. Докажите, что окружность S₇ совпадает с S₁.

Прислать комментарий

Решение

Задача 103937

Темы:	[	Окружность, вписанная в угол	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Наибольшая или наименьшая длина	]
	[	Периметр треугольника	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Мякишев А.Г.

Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Прямые BC и AD пересекаются в точке O, причём B лежит на отрезке O и A на отрезке OD. I – центр вписанной окружности треугольника OAB, J – центр вневписанной окружности треугольника OCD, касающейся стороны CD и продолжений двух других сторон. Перпендикуляры, опущенные из середины отрезка IJ на прямые BC и AD, пересекают соответствующие стороны четырёхугольника (не продолжения) в точках X и Y. Доказать, что отрезок XY делит периметр четырёхугольника ABCD пополам, причём из всех отрезков с этим свойством и концами на BC и AD XY имеет наименьшую длину.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 78]