ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111717
Темы:    [ Окружность, вписанная в угол ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ ГМТ - прямая или отрезок ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Имеется треугольник ABC. На луче BA отложим точку A1, так что отрезок BA1 равен BC. На луче CA отложим точку A2, так что отрезок C2 равен BC. Аналогично построим точки B1, B2 и C1, C2. Докажите, что прямые A1A2, B1B 2, C1C2 параллельны.


Решение

Пусть O, I – центры описанной и вписанной окружностей треугольника. Так как BI – биссектриса угла B равнобедренного треугольника A1BC,
A
1I = IC.  Аналогично  A2I = IB.  Следовательно,  A1I² – A2I² = IC² – IB² = (p – c)² – (p – b)² = a(b – c).  С другой стороны, если B0, C0 – середины AC и AB, то     Следовательно, прямые A1A2 и OI перпендикулярны (см. задачу 53602). Аналогично получаем, что прямая OI перпендикулярна двум другим прямым.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2008
тур
задача
Номер 12

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .