Версия для печати
Убрать все задачи
Существуют ли арифметическая прогрессия, состоящая лишь из простых чисел?
Решение
Даны пять чисел; сумма любых трёх из них чётна. Доказать, что все числа чётны.
Решение
На доске в лаборатории написаны два числа. Каждый день старший научный сотрудник Петя стирает с доски оба числа и пишет вместо них их среднее
арифметическое и среднее гармоническое. Утром первого дня на доске были написаны
числа 1 и 2. Найдите произведение чисел, записанных на доске вечером 1999-го
дня.
Решение
Дана правильная треугольная пирамида
PABC (
P – вершина) со
стороной основания
a и боковым ребром
b (
b > a ). Сфера лежит
над плоскостью основания
ABC , касается этой плоскости в точке
A
и, кроме того, касается бокового ребра
PB . Найдите радиус сферы.
Решение
Дима, приехав из Врунляндии, рассказал, что там есть несколько озер, соединённых между собой реками. Из каждого озера вытекают три реки, и в каждое озеро впадают четыре реки. Докажите, что он ошибается.
Решение
На берегу круглого озера растут 6 сосен. Известно, что если взять такие два треугольника, что вершины одного совпадают с тремя из сосен, а вершины другого – с тремя другими, то в середине отрезка, соединяющего точки пересечения высот этих треугольников, на дне озера находится клад. Неизвестно только, как нужно разбить данные шесть точек на две тройки. Сколько раз придётся опуститься на дно озера, чтобы наверняка отыскать клад?
Решение
Две окружности пересекаются в точках
A и
B. Точка
X
лежит на прямой
AB, но не на отрезке
AB. Докажите,
что длины всех касательных, проведенных из точки
X к окружностям,
равны.
Решение
Фильтр
