Имеются две концентрические окружности. Вокруг меньшей из них описан многоугольник, целиком находящийся внутри большей окружности. Из общего центра на стороны многоугольника опущены перпендикуляры, которые продолжены до пересечения с большей окружностью; каждая из полученных точек пересечения соединена с концами соответствующей стороны многоугольника. При каком условии построенный так звёздчатый многоугольник будет развёрткой пирамиды?

   Решение

Разделим каждую сторону выпуклого четырёхугольника ABCD на три равные части и соединим отрезками соответствующие точки на противоположных сторонах (см. рис.). Докажите, что площадь "среднего" четырёхугольника в 9 раз меньше площади четырёхугольника ABCD.

   Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 13]      

Одну сторону прямоугольника увеличили в 3 раза, а другую уменьшили в 2 раза и получили квадрат.
Чему равна сторона квадрата, если площадь прямоугольника 54 м²?

Прислать комментарий

Решение

На сторонах AB и AC треугольника ABC, площадь которого равна 36 см², взяты соответственно точки M и K так, что AM/MB = 1/3, а AK/KC = 2/1. Найдите площадь треугольника AMK.

Прислать комментарий

Решение

Разделим каждую сторону выпуклого четырёхугольника ABCD на три равные части и соединим отрезками соответствующие точки на противоположных сторонах (см. рис.). Докажите, что площадь "среднего" четырёхугольника в 9 раз меньше площади четырёхугольника ABCD.

Прислать комментарий

Решение

  Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Каждая его сторона разбита на k равных частей. Точки деления, принадлежащие стороне AB, соединены прямыми с точками деления, принадлежащими стороне CD, так что первая, считая от A, точка деления соединена с первой точкой деления, считая от D, вторая, считая от A, – со второй, считая от D, и т. д. (первая серия прямых), а точки деления, принадлежащие стороне BC, аналогичным образом соединены с точками деления, принадлежащими стороне DA (вторая серия прямых). Образовалось k² маленьких четырёхугольников. Из них выбрано k четырёхугольников таким образом, что каждые два выбранных четырёхугольника разделены хотя бы одной прямой первой серии и хотя бы одной прямой второй серии.
  Доказать, что сумма площадей выбранных четырёхугольников равна  ¹/_k S_ABCD.

Прислать комментарий

Решение

На стороне AB четырёхугольника ABCD взяты точки A₁ и B₁, а на стороне CD – точки C₁ и D₁, причём  AA₁ = BB₁ = pAB  и  CC₁ = DD₁ = pCD,  где
p < ½.  Докажите, что  S_A1B1C1D1 = (1 – 2p)S_ABCD.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 13]