ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 77925
Тема:    [ Свойства разверток ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Имеются две концентрические окружности. Вокруг меньшей из них описан многоугольник, целиком находящийся внутри большей окружности. Из общего центра на стороны многоугольника опущены перпендикуляры, которые продолжены до пересечения с большей окружностью; каждая из полученных точек пересечения соединена с концами соответствующей стороны многоугольника. При каком условии построенный так звёздчатый многоугольник будет развёрткой пирамиды?

Решение

Ответ: при условии, что R > 2r, где R — радиус большей окружности, r радиус меньшей окружности. Чтобы получилась развёртка пирамиды, нужно, чтобы выполнялись два условия: 1) длины двух сторон звёздчатого многоугольника, выходящих из одной вершины описанного многоугольника, равны; 2) сумма углов звёздчатого многоугольника при вершинах, лежащих на большей окружности, меньше 360o. Первое условие выполняется всегда. Посмотрим, когда выполняется второе условие. Сравним угол при вершине, лежащей на большей окружности, с углом, под которым видна соответствующая сторона описанного многоугольника из центра окружности. Эти углы равны, если r = R - r. Если r < R - r, то первый угол меньше второго, а если r > R - r, то первый угол больше второго. Остаётся заметить, что сумма углов, под которыми видны стороны описанного многоугольника из центра окружности, равна 360o.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 14
Год 1951
вариант
Класс 9,10
Тур 1
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .