Версия для печати
Убрать все задачи

---

На продолжении боковой стороны AB равнобедренного треугольника ABC за вершину A взята точка D, причём AD = 2AB. Известно, что BAC = 120^o. Докажите, что треугольник BDC — равнобедренный.

   Решение

---

На доске написано число 1. Если на доске написано число а, его можно заменить любым числом вида  a + d,  где d взаимно просто с а и  10 ≤ d ≤ 20.
Можно ли через несколько таких операций получить на доске число 18! ?

   Решение

---

На сторонах BC, AC и AB треугольника ABC расположены точки A₁, B₁ и C₁ соответственно, причём  BA₁ : A₁C = CB₁ : B₁A = AC₁ : C₁B = 1 : 3.  Найдите площадь треугольника, образованного пересечениями прямых AA₁, BB₁ и CC₁, если известно, что площадь треугольника ABC равна 1.

   Решение

---

На плоскости дано n точек и отмечены середины всех отрезков с концами в этих точках. Докажите, что различных отмеченных точек не менее 2n - 3.

   Решение

---

В треугольнике ABC угол C – прямой,  AC : AB = 4 : 5.  Окружность с центром на катете AC касается гипотенузы AB и пересекает катет BC в точке P, причём
BP : PC = 2 : 3.  Найдите отношение радиуса окружности к катету BC.

   Решение

---

Шеренга новобранцев стояла лицом к сержанту. По команде "налево" некоторые повернулись налево, некоторые – направо, а остальные – кругом.
Всегда ли сержант сможет встать в строй так, чтобы с обеих сторон от него оказалось поровну новобранцев, стоящих к нему лицом?

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 129]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 31366

Тема:   [ Соображения непрерывности ]

Сложность: 3- Классы: 5,6,7,8

Матч между двумя футбольными командами закончился со счетом 8:5. Доказать, что был момент, когда первая команда забила столько же мячей, сколько второй оставалось забить.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 34940

Тема:   [ Малые шевеления ]

Сложность: 3-

Докажите, что на координатной плоскости можно провести окружность, внутри которой лежит ровно n целочисленных точек.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 35732

Тема:   [ Соображения непрерывности ]

Сложность: 3 Классы: 7,8

Шеренга новобранцев стояла лицом к сержанту. По команде "налево" некоторые повернулись налево, некоторые – направо, а остальные – кругом.
Всегда ли сержант сможет встать в строй так, чтобы с обеих сторон от него оказалось поровну новобранцев, стоящих к нему лицом?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 104102

Темы:   [ Монотонность и ограниченность ] [ Тригонометрические уравнения ] [ Смешанные уравнения и системы уравнений ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

Решите систему уравнений:
    x² + 4sin²y – 4 = 0,
    cos x – 2cos²y – 1 = 0.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 32840

Тема:   [ Соображения непрерывности ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Выйдя на маршрут в 4 часа утра, альпинист Джеф Лоу к вечеру достиг пика "Свободная Корея". Переночевав на вершине, на следующий день он вышел в то же время и быстро спустился обратно по пути подъема. Докажите, что на маршруте есть такая точка, которую Лоу во время спуска и во время подъема проходил в одно и то же время суток.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 129]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями