|
|
 |
Условие
Докажите, что на координатной плоскости можно провести окружность, внутри которой лежит ровно n целочисленных точек.
Подсказка
Проведите маленькую окружность и раздувайте её.
Решение
Можно выбрать такую точку A плоскости, что на любой окружности с центром A лежит не более одной целой точки. Для этого достаточно, чтобы все расстояния от A до целых точек были различными. Заметим, что серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему целые точки, имеет рациональный угловой коэффициент. Кроме того, он проходит через середину этого отрезка – точку с рациональными координатами – и поэтому задаётся уравнением с рациональными коэффициентами. Если в качестве точки A взять точку с рациональной абсциссой и иррациональной ординатой, она не будет лежать ни на одном из этих серединных перпендикуляров.
Выпишем радиусы окружностей с центром A, проходящих через целочисленные точки, в порядке возрастания: R1 < R2 < R3 < ... Если Rn < R < Rn+1, то внутри окружности радиуса R будет содержаться ровно n целочисленных точек.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| задача |
