Версия для печати
Убрать все задачи

---

Даны выпуклый многоугольник $M$ и простое число $p$. Оказалось, что существует ровно $p$ способов разбить $M$ на равносторонние треугольники со стороной 1 и квадраты со стороной 1.
Докажите, что длина одной из сторон многоугольника $M$ равна  $p$ – 1.

   Решение

---

Дано n целых чисел, каждое из которых взаимно просто с n. Также дано неотрицательное целое число  r < n.
Докажите, что среди данных n чисел можно выбрать несколько чисел, сумма которых дает остаток r при делении на n.

   Решение

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 189]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 61535  [Черная пятница]

Темы:   [ Деление с остатком ] [ Периодичность и непериодичность ] [ Теория вероятностей (прочее) ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Докажите, что 13-е число месяца с большей вероятностью приходится на пятницу, чем на другие дни недели. Предполагается, что мы живем по Григорианскому стилю.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98321

Темы:   [ Деление с остатком ] [ Десятичная система счисления ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Существует ли такое шестизначное число A, что среди чисел  A, 2A, ..., 500000A  нет ни одного числа, оканчивающегося шестью одинаковыми цифрами?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98410

Темы:   [ Деление с остатком ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Уравнения в целых числах ] [ Системы линейных уравнений ]

Сложность: 4 Классы: 7,8

Шайка разбойников отобрала у купца мешок монет. Каждая монета стоит целое число грошей. Оказалось, что какую бы монету ни отложить, оставшиеся монеты можно разделить между разбойниками так, чтобы каждый получил одинаковую сумму в грошах. Докажите, что если отложить одну монету, то число монет разделится на число разбойников.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 35406

Темы:   [ Деление с остатком ] [ Индукция (прочее) ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Дано n целых чисел, каждое из которых взаимно просто с n. Также дано неотрицательное целое число  r < n.
Докажите, что среди данных n чисел можно выбрать несколько чисел, сумма которых дает остаток r при делении на n.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78761

Темы:   [ Деление с остатком ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Имеется натуральное число  n > 1970.  Возьмём остатки от деления числа 2ⁿ на 2, 3, 4, ..., n. Доказать, что сумма этих остатков больше 2n.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 189]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями