|
Название задачи: Черная пятница. |
 |
Условие
Докажите, что 13-е число месяца с большей вероятностью приходится на пятницу, чем на другие дни недели. Предполагается, что мы живем по Григорианскому стилю.
Подсказка
Воспользуйтесь тем, что число дней в 400-летнем цикле делится на 7.
Решение
Напомним. что год не является високосным, если его номер не делится на 4 и если его номер делится на 100, но не на 400. Невисокосный год состоит из 52 недель и одного дня, а в високосном – на один день больше. Таким образом, число дней в 400-летнем цикле сравнимо с 300 + 100 – 3 = 497 (mod 7). то есть делится на 7. Поэтому достаточно исследовать один такой цикл, например, с 2000 по 2399 год.
Если 13-е число месяца – пятница, то 1-е число этого месяца – воскресенье. Поэтому надо проверить, что месяц чаще всего начинается с воскресенья.
Разобьём годы на 7 типов, соответствующие первому дню года: год 1-го типа начинается с понедельника, 2-го – со вторника, ..., 6-го – с субботы, а 0-го с воскресенья. Если невисоскосный год имеет тип n, то следующий год имеет тип n + 1 (mod 7). Если висоскосный год имеет тип n, то следующий год имеет тип n + 2 (mod 7), а следующий високосный год – тип n – 2 (mod 7). Например, как видно из календаря, 2000 год – всиокосный 6-го типа, 2001-й – невисокосный 1-го типа, 2004-й – високосный 4-го типа.
Нетрудно проверить. что в невисокосном году типа 0 понедельник, вторник и четверг будут 1-ми числами по одному разу, пятница, суббота и воскресенье – по 2 раза, и среда – 3 раза. В високосном же году типа 0 понедельник, вторник и пятница будут 1-ми числами по одному разу, среда, четверг и суббота – по 2 раза, а воскресенье – 3 раза. В годах других типов происходит соответствующий сдвиг; например, в невисокосном году типа 1 вторник, среда и пятница будут 1-ми числами по одному разу, суббота, воскресенье и понедельник – по 2 раза, четверг – 3 раза.
В нашем 400-летнем цикле есть два вида подциклов. Во-первых, это 7 подряд идущих невисокосных лет (например, 2097 – 2103 гг.). Ясно, что в таком цикле невисокосный год каждого типа встречается по разу. Во-вторых, это 28 подряд идущих лет, из которых ровно 7 високосных (например, 2000 – 2027 гг.). Нетрудно проверить, что в таком високосный год каждого типа встречается по разу, а високосный год каждого типа – по три раза. Годы, входящие в такие циклы, можно исключить из рассмотрения и оставить только 2000 – 2012, 2104 – 2112, 2204 – 2212, 2304 – 2312, 2397 – 2399.
Заметим, что в силу цикличности 2104 год начинается с того же дня недели, что и 2097-й, 2013-й, а значит, и 2008-й: с 2008-го по 2013 происходит сдвиг на 2 + 1 + 1 + 1 + 2 = 7 дней. Значит период 2104 – 2112 можно заменить на период 2008 – 2016. Аналогично периоды 2204 – 2212, 2304 – 2312, 2397 – 2399 заменяются на периоды 2012 – 2020, 2016 – 2024 и 2025 – 2027 соотвественно. Накладывая полученные, периоды получаем 28-летний цикл 2000 – 2027 плюс промежуток 2008 – 2020 и еще по разу 2012 и 2016 гг.
Итак, у нас в рассмотрении остаются невисокосные годы 2009, 2010, 2011, 2013, 2014, 2015, 2017, 2019 соответственно типов 4, 5, 6, 2, 3, 4, 0, 1, 2 и високосные 2008, 2012, 2012, 2016, 2016, 2020 соответственно типов 2, 0, 0, 5, 5, 3. Убрав из невисокосных лет встречающиеся по разу типы от 0 до 6, оставляем только типы 2 и 4, что дает в качестве 1-х чисел 5 воскресений, 4 вторника, 4 пятницы, по 3 понедельника, среды и четверга и одну субботу. Указанные високосные годы добавляют по 11 воскресений, вторников и пятниц, по 10 сред, четвергов и суббот и 9 понедельников. Итого, 16 воскресений, по 15 вторников и пятниц, по 13 сред и четвергов и 12 понедельников.
Видим, что воскресенье бывает 1-м числом чуть чаще, чем каждый из остальных дней недели.
