Четырехугольник $ABCD$ – вписанный. Окружность, проходящая через точки $A$ и $B$, пересекает диагонали $AC$ и $BD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Пусть прямые $AF$ и $BC$ пересекаются в точке $P$, а прямые $BE$ и $AD$ – в точке $Q$. Докажите, что $PQ$ параллельна $CD$.

   Решение

Для некоторых 2011 натуральных чисел выписали на доску все их 2011·1005 попарных сумм.
Могло ли оказаться, что ровно треть выписанных сумм делится на 3, и ещё ровно треть из них дают остаток 1 при делении на 3?

   Решение

Страница: << 13 14 15 16 17 18 19 >> [Всего задач: 368]      

Для некоторых 2011 натуральных чисел выписали на доску все их 2011·1005 попарных сумм.
Могло ли оказаться, что ровно треть выписанных сумм делится на 3, и ещё ровно треть из них дают остаток 1 при делении на 3?

Прислать комментарий

Решение

Является ли простым число  2011·2111 + 2500?

Прислать комментарий

Решение

Пусть  a₁, ..., a₁₁  – различные натуральные числа, не меньшие 2, сумма которых равна 407.
Может ли сумма остатков от деления некоторого натурального числа n на 22 числа  a₁, ..., a₁₁, 4a₁, 4a₂, ..., 4a₁₁  равняться 2012?

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что если при $n\in\mathbb{N}$ число $2+2\sqrt{12n^2+1}$ целое, то оно  – точный квадрат.

Прислать комментарий

Решение

Найдите последнюю цифру числа 7⁷⁷.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 13 14 15 16 17 18 19 >> [Всего задач: 368]