Версия для печати
Убрать все задачи

---

В некоторых клетках квадрата 20×20 стоит стрелочка в одном из четырёх направлений. На границе квадрата все стрелочки смотрят вдоль границы по часовой стрелке (см. рис.). Кроме того, стрелочки в соседних (возможно, по диагонали) клетках не смотрят в противоположных направлениях. Докажите, что найдётся клетка, в которой стрелочки нет.

   Решение

---

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна a . Боковая грань образует с плоскостью основания угол равный 45^o . Найдите объём пирамиды.

   Решение

---

Периметр прямоугольника равен 40. Какой из таких прямоугольников имеет наибольшую площадь?

   Решение

---

Король стоит на поле a1 шахматной доски. За ход разрешается сдвинуть его на одну клетку вправо, или на одну клетку вверх, или на одну клетку вправо-вверх. Выигрывает тот, кто поставит короля на клетку h8. Кто выигрывает при правильной игре?

   Решение

---

У двух человек было два квадратных торта. Каждый сделал на своём торте по 2 прямолинейных разреза от края до края. При этом у одного получилось три куска, а у другого  — четыре. Как это могло быть?

   Решение

---

Докажите, что среди любых 10 целых чисел найдётся несколько, сумма которых делится на 10.

   Решение

---

Одно трехзначное число состоит из различных цифр, следующих в порядке возрастания, а в его названии все слова начинаются с одной и той же буквы. Другое трехзначное число, наоборот, состоит из одинаковых цифр, но в его названии все слова начинаются с разных букв. Какие это числа?

   Решение

---

Существуют ли такие значения a и b, при которых уравнение   х⁴ – 4х³ + 6х² + aх + b = 0  имеет четыре различных действительных корня?

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 115512

Темы:   [ Выпуклость и вогнутость (прочее) ] [ Разложение на множители ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Докажите, что если числа x, y, z при некоторых значениях p и q являются решениями системы
     y = xⁿ + px + q,  z = yⁿ + py + q,  x = zⁿ + pz + q,
то выполнено неравенство  x²y + y²z + z²x ≥ x²z + y²x + z²y.
Рассмотрите случаи   а)  n = 2;   б)  n = 2010.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109573

Темы:   [ Тригонометрические неравенства ] [ Выпуклость и вогнутость (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Докажите, что при всех $x$, $0 < x < \pi/3$, справедливо неравенство $\sin 2x + \cos x > 1$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116624

Темы:   [ Многочлены (прочее) ] [ Производная (прочее) ] [ Выпуклость и вогнутость (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Существуют ли такие значения a и b, при которых уравнение   х⁴ – 4х³ + 6х² + aх + b = 0  имеет четыре различных действительных корня?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109734

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Производная и касательная ] [ Выпуклость и вогнутость (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Приведенные квадратные трёхчлены  f(x) и g(x) принимают отрицательные значения на непересекающихся интервалах.
Докажите, что найдутся такие положительные числа α и β, что для любого действительного x будет выполняться неравенство αf(x) + βg(x) > 0.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109199

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Неравенство Иенсена ] [ Выпуклость и вогнутость (прочее) ] [ Теоремы о среднем значении ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

Положительные числа х₁, ..., х_k удовлетворяют неравенствам  
  а) Докажите, что  k > 50.
  б) Построить пример таких чисел для какого-нибудь k.
  в) Найти минимальное k, для которого пример возможен.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями