Задача 109573

Темы:    [ Тригонометрические неравенства ] [ Выпуклость и вогнутость (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Условие

Автор: Агаханов Н.Х.

Докажите, что при всех x , 0<x<π /3 , справедливо неравенство

sin 2x+ cos x>1.

Решение

Используя тождества 1- cos x=2 sin² , sin 2x=4 sin cos cos x , приводим неравенство к виду 2 cos x,>, tg . Полученное неравенство справедливо в силу того, что 2 cos x>2 cos=1 , tg < tg<1 . Заметим, что функции sin2x и cos x выпуклы вверх на отрезке [0,] . Значит, их сумма f(x)= sin2x+ cos x также выпукла, поэтому график функции f(x) на этом отрезке лежит не ниже прямой, соединяющей точки (0;f(0)) и (;f()) . Требуемое неравенство теперь следует из соотношений f(0)=1 и f()=+>1 .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1994
Этап
Вариант	4
класс
Класс	11
задача
Номер	94.4.11.1