Версия для печати
Убрать все задачи

---

Существует ли такая гипербола, задаваемая уравнением вида $y=\frac{a}{x}$, что в первой координатной четверти (x>0, y>0) под ней лежат ровно 82 точки с целочисленными координатами?

   Решение

---

На доске написаны девять приведённых квадратных трёхчленов:  x² + a₁x + b₁,  x² + a₂x + b₂,  ...,  x² + a₉x + b₉. Известно, что последовательности  a₁, a₂, ..., a₉  и  b₁, b₂, ..., b₉  – арифметические прогрессии. Оказалось, что сумма всех девяти трёхчленов имеет хотя бы один корень. Какое наибольшее количество исходных трёхчленов может не иметь корней?

   Решение

---

Луч света, пущенный из точки M, зеркально отразившись от прямой AB в точке C, попал в точку N.
Докажите, что биссектриса угла MCN перпендикулярна прямой AB. (Угол падения равен углу отражения.)

   Решение

---

Точки M и N расположены соответственно на сторонах AB и AC треугольника ABC, причём  AM : MB = 1 : 2,  AN : NC = 3 : 2.  Прямая MN пересекает продолжение стороны BC в точке F. Найдите  CF : BC.

   Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 38]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 53896

Темы:   [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Центр масс ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Через точку пересечения биссектрисы угла A треугольника ABC и отрезка, соединяющего основания двух других биссектрис, проведена прямая, параллельная стороне BC. Докажите, что меньшее основание образовавшейся трапеции равно полусумме её боковых сторон.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61158

Темы:   [ Правильные многоугольники ] [ Вычисления. Метрические соотношения в многоугольниках ] [ Момент инерции ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Правильный n-угольник вписан в единичную окружность. Докажите, что
а) сумма квадратов длин всех сторон и всех диагоналей равна n²;
б) сумма длин всех сторон и всех диагоналей равна  n ctg ^π/_2n;
в) произведение длин всех сторон и всех диагоналей равно  n^n/2.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116350

Темы:   [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Признаки подобия ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Центр масс ]

Сложность: 3- Классы: 8,9,10

Точки M и N расположены соответственно на сторонах AB и AC треугольника ABC, причём  AM : MB = 1 : 2,  AN : NC = 3 : 2.  Прямая MN пересекает продолжение стороны BC в точке F. Найдите  CF : BC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116338

Темы:   [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Признаки подобия ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Центр масс ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

На сторонах AB и BC треугольника ABC расположены точки M и N соответственно, причём  AM : MB = 3 : 5,  BN : NC = 1 : 4.  Прямые CM и AN пересекаются в точке O. Найдите отношения  OA : ON  и  OM : OC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116339

Темы:   [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Признаки подобия ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Центр масс ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

На сторонах AB и AC треугольника ABC расположены точки N и M соответственно, причём  AN : NB = 3 : 2,  AM : MC = 4 : 5.  Прямые BM и CN пересекаются в точке O. Найдите отношения  OM : OB  и  ON : OC.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 38]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями