Верно ли, что любое положительное чётное число можно представить в виде произведения целых чисел, сумма которых равна нулю?

   Решение

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁, BB₁ и CC₁. Докажите, что если  A₁B₁ || AB  и  B₁C₁ || BC,  то  A₁C₁ || AC.

   Решение

Точки A₁, B₁, C₁ лежат соответственно на сторонах BC, AC, AB треугольника ABC, причём отрезки AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в точке K.
Докажите, что  ^AK/_KA1 = ^AB₁/_B1C + ^AC₁/_C1B.

   Решение

На двух клетках шахматной доски стоят чёрная и белая фишки. За один ход можно передвинуть любую из них на соседнюю по вертикали или горизонтали клетку (две фишки не могут стоять на одной клетке). Могут ли в результате таких ходов встретиться все возможные варианты расположения этих двух фишек, причём ровно по одному разу?

   Решение

В треугольнике ABC  M – точка пересечения медиан, I – центр вписанной окружности, A₁ и B₁ – точки касания этой окружности со сторонами BC и AC, G – точка пересечения прямых AA₁ и BB₁. Докажите, что угол CGI прямой тогда и только тогда, когда   GM || AB.

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 2]      

В треугольнике ABC  M – точка пересечения медиан, I – центр вписанной окружности, A₁ и B₁ – точки касания этой окружности со сторонами BC и AC, G – точка пересечения прямых AA₁ и BB₁. Докажите, что угол CGI прямой тогда и только тогда, когда   GM || AB.

Прислать комментарий

Решение

Внутри треугольника $ABC$ на биссектрисе угла $A$ выбрана произвольная точка $J$. Лучи $BJ$ и $CJ$ пересекают стороны $AC$ и $AB$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Касательная к описанной окружности треугольника $AKL$ в точке $A$ пересекает прямую $BC$ в точке $P$. Докажите, что $PA=PJ$.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 2]