Версия для печати
Убрать все задачи

---

Даны многоугольник, прямая l и точка P на прямой l в общем положении (то есть все прямые, содержащие стороны многоугольника, пересекают l в различных точках, отличных от P). Отметим те вершины многоугольника, для каждой из которых прямые, на которых лежат выходящие из неё стороны многоугольника, пересекают l по разные стороны от точки P. Докажите, что точка P лежит внутри многоугольника тогда и только тогда, когда по каждую сторону от l отмечено нечётное число вершин.

   Решение

---

Основание пирамиды SABCD – параллелограмм ABCD . Какая фигура получилась в сечении этой пирамиды плоскостью ABM , где M – точка на ребре SC ?

   Решение

---

Существует ли такой квадратный трёхчлен P(x) с целыми коэффициентами, что для любого натурального числа n, в десятичной записи которого участвуют одни единицы, число P(n) также записывается одними единицами?

   Решение

---

Решите систему уравнений:
    x² + 4sin²y – 4 = 0,
    cos x – 2cos²y – 1 = 0.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 129]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 31366

Тема:   [ Соображения непрерывности ]

Сложность: 3- Классы: 5,6,7,8

Матч между двумя футбольными командами закончился со счетом 8:5. Доказать, что был момент, когда первая команда забила столько же мячей, сколько второй оставалось забить.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 34940

Тема:   [ Малые шевеления ]

Сложность: 3-

Докажите, что на координатной плоскости можно провести окружность, внутри которой лежит ровно n целочисленных точек.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 35732

Тема:   [ Соображения непрерывности ]

Сложность: 3 Классы: 7,8

Шеренга новобранцев стояла лицом к сержанту. По команде "налево" некоторые повернулись налево, некоторые – направо, а остальные – кругом.
Всегда ли сержант сможет встать в строй так, чтобы с обеих сторон от него оказалось поровну новобранцев, стоящих к нему лицом?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 104102

Темы:   [ Монотонность и ограниченность ] [ Тригонометрические уравнения ] [ Смешанные уравнения и системы уравнений ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

Решите систему уравнений:
    x² + 4sin²y – 4 = 0,
    cos x – 2cos²y – 1 = 0.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 32840

Тема:   [ Соображения непрерывности ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Выйдя на маршрут в 4 часа утра, альпинист Джеф Лоу к вечеру достиг пика "Свободная Корея". Переночевав на вершине, на следующий день он вышел в то же время и быстро спустился обратно по пути подъема. Докажите, что на маршруте есть такая точка, которую Лоу во время спуска и во время подъема проходил в одно и то же время суток.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 129]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями