ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 60482
Темы:    [ Простые числа и их свойства ]
[ Целочисленные и целозначные многочлены ]
[ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть P(x) – многочлен ненулевой степени с целыми коэффициентами. Могут ли все числа P(0), P(1), P(2), ... быть простыми?


Решение

Пусть такой многочлен нашёлся. Тогда его свободный член  p = P(0)  – простое число. Подставляя в формулу многочлена P(x) числа  xj = pj  (j = 1, 2, ...),  получаем, что P(xj) делится на p. Следовательно,  P(xj) = p,  и многочлен P(x) принимает одно и то же значение в бесконечном числе точек. Противоречие.

Замечания

Ср. с задачей 35143.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 3
Название Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики
Тема Алгебра и арифметика
параграф
Номер 1
Название Простые числа
Тема Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители
задача
Номер 03.030

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .