Докажите, что если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то середины его сторон и основания перпендикуляров, опущенных из точки пересечения его диагоналей на стороны, лежат на одной окружности.

   Решение

В треугольнике $ABC$ с тупым углом $B$ отмечены такие точки $P$ и $Q$ на $AC$, что $AP=PB$, $BQ=QC$. Окружность $BPQ$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $N$ и $M$ соответственно.

а) (П.Рябов) Докажите, что точка $R$ пересечения $PM$ и $NQ$ равноудалена от $A$ и $C$.

б) (А.Заславский) Пусть $BR$ пересекает $AC$ в точке $S$. Докажите, что $MN\perp OS$, где $O$ – центр описанной окружности треугольника $ABC$.

   Решение

Четырёхугольник PQRS вписан в окружность. Диагонали PR и QS перпендикулярны и пересекаются в точке M. Известно, что  PS = 13,  QM = 10,  QR = 26.  Найдите площадь четырёхугольника PQRS.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 160]      

В корзине лежат 13 яблок. Имеются весы, с помощью которых можно узнать суммарный вес любых двух яблок.
Придумайте способ выяснить за 8 взвешиваний суммарный вес всех яблок.

Прислать комментарий

Решение

Какие веса могут иметь три гири для того, чтобы с их помощью можно было взвесить любое целое число килограммов от 1 до 10 на чашечных весах (гири можно ставить на обе чашки)? Приведите пример.

Прислать комментарий

Решение

Имеются чашечные весы без гирь и 3 одинаковые по внешнему виду монеты, одна из которых фальшивая: она легче настоящих (настоящие монеты одного веса). Сколько надо взвешиваний, чтобы определить фальшивую монету? Решите ту же задачу в случаях, когда имеется 4 монеты и 9 монет.

Прислать комментарий

Решение

Имеются чашечные весы без гирь и 3 одинаковые по внешнему виду монеты. Одна из монет фальшивая, причём неизвестно, легче она настоящих монет или тяжелее (настоящие монеты одного веса). Сколько надо взвешиваний, чтобы определить фальшивую монету? Решите ту же задачу в случаях, когда имеется 4 монеты и 9 монет.

Прислать комментарий

Решение

Лиса Алиса и Кот Базилио  — фальшивомонетчики. Базилио делает монеты тяжелее настоящих, а Алиса  — легче. У Буратино есть 15 одинаковых по внешнему виду монет, но какая-то одна  — фальшивая. Как двумя взвешиваниями на чашечных весах без гирь Буратино может определить, кто сделал фальшивую монету  — Кот Базилио или Лиса Алиса?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 160]