Версия для печати
Убрать все задачи

---

Точки a₁, a₂ и a₃ расположены на единичной окружности  zz = 1.
Докажите, что точка  h = a₁ + a₂ + a₃  является ортоцентром треугольника с вершинами в точках a₁, a₂ и a₃.

   Решение

---

Даны два приведённых квадратных трёхчлена. График одного из них пересекает ось Ox в точках A и M, а ось Oy – в точке C. График другого пересекает ось Ox в точках B и M, а ось Oy – в точке D. (O – начало координат; точки расположены как на рисунке.) Докажите, что треугольники AOC и BOD подобны.

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 121]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66024

Темы:   [ Произведения и факториалы ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

В произведении семи натуральных чисел каждый сомножитель уменьшили на 3. Могло ли произведение при этом увеличиться ровно в 13 раз?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66994

Темы:   [ Произведения и факториалы ] [ Теория чисел. Делимость (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

В строку записано 2020 натуральных чисел. Каждое из них, начиная с третьего, делится и на предыдущее, и на сумму двух предыдущих.
Какое наименьшее значение может принимать последнее число в строке?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78123

Тема:   [ Произведения и факториалы ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Разбить число 1957 на 12 целых положительных слагаемых a₁, a₂, ..., a₁₂ так, чтобы произведение a₁!a₂!...a₁₂! было минимально.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78516

Темы:   [ Произведения и факториалы ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Найти все такие натуральные числа n, что число  (n – 1)!  не делится на n².

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98533

Темы:   [ Произведения и факториалы ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Cлава перемножил первые n натуральных чисел, а Валера перемножил первые m чётных натуральных чисел (n и m больше 1). В результате у них получилось одно и то же число. Докажите, что хотя бы один из мальчиков ошибся.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 121]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями