Задача 98533

Темы:    [ Произведения и факториалы ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Сендеров В.А.

Cлава перемножил первые n натуральных чисел, а Валера перемножил первые m чётных натуральных чисел (n и m больше 1). В результате у них получилось одно и то же число. Докажите, что хотя бы один из мальчиков ошибся.

Решение

  У Славы получилось число n!, a у Валеры – число  2·4·6·...·(2m) = 2^m·m!.  Предположив, что они равны и разделив на m!, получим
2^m = (m + 1)(m + 2)...(n – 1)n.  Так как  m > 1,  то все множители в правой части больше единицы. Но среди первых двух множителей один нечётный, что невозможно. Следовательно, произведение сводится к одному множителю, то есть  2^m = m + 1.
  Но  2^m = (2^m–1 + 2^m–2 + ... + 2 + 1) + 1 > (1 + 1 + ... + 1 + 1) + 1 = m + 1.  Противоречие.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2001/2002
Номер	23
вариант
Вариант	осенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	2