|
|
 |
Условие
В строку записано 2020 натуральных чисел. Каждое из них, начиная с третьего, делится и на предыдущее, и на сумму двух предыдущих.
Какое наименьшее значение может принимать последнее число в строке?
Решение
Пример. Условию задачи, очевидно, удовлетворяют числа 1, 1, 2!, 3!, ..., 2019!, так как при любом натуральном $k$ число $(k+2)!$ делится как на $(k+1)!$, так и на $(k + 1)! + k! = k!(k + 2)$.
Оценка. Пусть $a,b,c$ – три подряд идущих числа в строке, но не первые три числа. Докажем, что $\frac{c}{b}\geqslant \frac{b}{a}+1$. По условию $\frac{b}{a} = x$, $\frac{c}{b} = y$, где $x$ и $y$ натуральные. Тогда $c = by = axy$, причём $c$ делится на $b + a = ax + a = a(x + 1)$. Получаем, что $axy$ делится на $a(x + 1)$, откуда $xy$ делится на $x+1$, и так как $x$ и $x + 1$ взаимно просты, $y$ делится на $x + 1$, то есть $y \geqslant x + 1$, что и требовалось.
Заметим, что $a_1, a_2$ ≥ 1, $a_3 > a_2$ (оно делится на $a_1 + a_2$), а значит, $a_3$ ≥ 2$a_2$ (оно делится на него и не равно ему). По доказанному выше $a_4$ ≥ 3$a_3$, $a_5$ ≥ 4$a_4$, ..., откуда по индукции получаем,
что $a_k$ ≥ ($k$ – 1)! при всех натуральных $k$.
Ответ
2019!.
