Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 135]      

Внутри выпуклого многоугольника расположены две точки.
Докажите, что найдётся четырёхугольник с вершинами в вершинах этого многоугольника, содержащий эти две точки.

Подсказка

Проведите прямую через эти две точки.

Решение

Проведём прямую через эти две точки. Пусть она пересекает две стороны AB и CD многоугольника. Тогда отрезок этой прямой лежит внутри четырёхугольника с вершинами A, B, C, D, следовательно, две данные точки лежат внутри четырёхугольника с вершинами A, B, C, D. (Если некоторые две из точек A, B, C, D совпадут, то добавим к этим точкам ещё одну вершину многоугольника.)

Прислать комментарий

На плоскости дано n>4 точек. Известно, что любые 4 из них являются вершинами выпуклого четырехугольника. Докажите, что эти n точек являются вершинами выпуклого n-угольника.

Подсказка

Рассмотрите выпуклую оболочку данных n точек (выпуклая оболочка множества точек - наименьшая выпуклая фигура, содержащая эти точки).

Решение

Рассмотрим выпуклую оболочку M данных n точек (выпуклая оболочка множества точек - наименьшая выпуклая фигура, содержащая эти точки). Фигура M является многоугольником с вершинами в некоторых из данных n точек (число вершин многоугольника M не больше n). Если M является n-угольником, то утверждение задачи верно. Пусть M является многоугольником с числом сторон, меньшим n. Тогда внутри него находится по крайней мере одна точка (обозначим ее через P) из n данных точек. Разобьем многоугольник M на треугольники диагоналями, проведенными из одной вершины. Точка P окажется внутри или на границе одного из этих треугольников (назовем его вершины A, B, C). Тогда четверка данных точек A, B, C, P не образует вершин выпуклого четырехугольника, что противоречит условию.

Прислать комментарий

На плоскости дано n точек, причем любые четыре из них являются вершинами выпуклого четырехугольника. Докажите, что эти точки являются вершинами выпуклого n-угольника.

Решение

Рассмотрим выпуклую оболочку данных точек. Она является выпуклым многоугольником. Нужно доказать, что все данные точки — его вершины. Предположим, что одна из данных точек (точка A) не является вершиной, т. е. лежит внутри или на стороне этого многоугольника. Диагоналями, выходящими из одной вершины, выпуклую оболочку можно разрезать на треугольники; точка A принадлежит одному из них. Вершины этого треугольника и точка A не могут быть вершинами выпуклого четырехугольника. Получено противоречие.

Прислать комментарий

На плоскости дано пять точек, причем никакие три из них не лежат на одной прямой. Докажите, что четыре из этих точек расположены в вершинах выпуклого четырехугольника.

Решение

Рассмотрим выпуклую оболочку данных точек. Если она является четырех- или пятиугольником, то все ясно. Допустим теперь, что выпуклая оболочка является треугольником ABC, а точки D и E лежат внутри его. Точка E лежит внутри одного из треугольников ABD, BCD, CAD; пусть для определенности она лежит внутри треугольника ABD. Обозначим точку пересечения прямых CD и AB через H. Точка E лежит внутри одного из треугольников ADH и BDH. Если, например, E лежит внутри треугольника ADH, то AEDC — выпуклый четырехугольник (рис.).

Прислать комментарий

На плоскости взяты несколько точек так, что на каждой прямой, соединяющей любые две из них, лежит по крайней мере еще одна точка. Докажите, что все точки лежат на одной прямой.

Решение

Пусть не все точки лежат на одной прямой. Проведем прямую через каждую пару точек и рассмотрим всевозможные пары: прямая и не лежащая на ней точка. Противоречие получается, если рассмотреть пару, в которой расстояние от точки до прямой минимально.

Прислать комментарий

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 135]