Условие
На плоскости дано n>4 точек. Известно, что любые 4 из них
являются вершинами выпуклого четырехугольника.
Докажите, что
эти n точек являются вершинами выпуклого n-угольника.
Подсказка
Рассмотрите
выпуклую оболочку
данных n точек (выпуклая оболочка
множества точек -
наименьшая выпуклая фигура, содержащая эти точки).
Решение
Рассмотрим выпуклую оболочку M данных n точек (выпуклая оболочка
множества точек -
наименьшая выпуклая фигура, содержащая эти точки).
Фигура M является многоугольником с вершинами в некоторых из
данных n точек (число
вершин многоугольника M не больше n).
Если M является n-угольником, то утверждение задачи верно.
Пусть M является многоугольником с числом
сторон, меньшим n.
Тогда внутри него находится по крайней мере одна точка
(обозначим ее через P) из n данных точек.
Разобьем многоугольник M на треугольники диагоналями, проведенными
из одной вершины.
Точка P окажется внутри или на границе одного из этих
треугольников (назовем его вершины A, B, C).
Тогда четверка данных точек A, B, C, P не образует вершин
выпуклого четырехугольника, что противоречит условию.
Источники и прецеденты использования
