Середины противоположных рёбер тетраэдра соединены. Доказать, что сумма трёх полученных отрезков меньше полусуммы рёбер тетраэдра.

   Решение

На двух клетках шахматной доски стоят чёрная и белая фишки. За один ход можно передвинуть любую из них на соседнюю по вертикали или горизонтали клетку (две фишки не могут стоять на одной клетке). Могут ли в результате таких ходов встретиться все возможные варианты расположения этих двух фишек, причём ровно по одному разу?

   Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 13]      

Можно ли расположить на плоскости три вектора так, чтобы модуль суммы каждых двух из них был равен 1, а сумма всех трёх была равна нулевому вектору?

Прислать комментарий

Решение

Клетки доски 2001×2001 раскрашены в шахматном порядке в чёрный и белый цвета так, что угловые клетки чёрные. Для каждой пары разноцветных клеток рисуется вектор, идущий из центра чёрной клетки в центр белой. Докажите, что сумма нарисованных векторов равна 0.

Прислать комментарий

Решение

На плоскости нарисованы n > 2 различных векторов  a₁, a₂, ..., a_n  с равными длинами. Оказалось, что все векторы  –a₁ + a₂ + ... + a_n,
a₁ – a₂ + a₃ + ... + a_n,  a₁ + a₂ + ... + a_n–1 – a_n   также имеют равные длины. Докажите, что  a₁ + a₂ + ... + a_n = 0.

Прислать комментарий

Решение

Известно, что Z₁ + ... + Z_n = 0, где Z_k — комплексные числа. Доказать, что среди этих чисел найдутся два таких, что разность их аргументов больше или равна 120^o.

Прислать комментарий

Решение

Точки A и B движутся равномерно и с равными угловыми скоростями по окружностям O₁ и O₂ соответственно (по часовой стрелке). Доказать, что вершина C правильного треугольника ABC также движется равномерно по некоторой окружности.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 13]