Куб с ребром n составлен из белых и чёрных кубиков с ребром 1 таким образом, что каждый белый кубик имеет общую грань ровно с тремя чёрными, а каждый чёрный – ровно с тремя белыми. При каких n это возможно?

   Решение

Темы:    [ Векторы (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 2+ Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Можно ли расположить на плоскости три вектора так, чтобы модуль суммы каждых двух из них был равен 1, а сумма всех трёх была равна нулевому вектору?

Решение

  Заметим, что если сумма трёх единичных векторов равна нулю, то сумма каждых двух из них равна третьему с обратным знаком, то есть её модуль равен 1. Три таких единичных вектора можно расположить по разному.

  Первый способ. Рассмотрим правильный треугольник АВС со сторонами единичной длины (см. рис.). Тогда искомый пример:  ,    и  .

  Второй способ. Искомыми являются три единичных вектора  ,    и  ,  образующие попарно углы 120° (см. задачу 55373 а).

Ответ

Можно.

Источники и прецеденты использования